Синтез и анализ аналоговых и цифровых регуляторов

Развитие всех областей техники в настоящее врамя характкризуется широкой автоматизацией различных производственных процессов. При этом освобождается труд человека, повышается точность и скорость выполнения операций, что значительно повышает производительность производства.

Автоматизация обеспечивает работу таких обьектов, непосредственое обслуживание человеком невозможно из-за вредности, отдаленности или быстрого протекания процесса.

В настоящее время резко увеличивается производство различного оборудования для автоматизации промышленности, а также внедряются новые типы автоматических устроиств, основанные на последних достижениях науки и техники. Эффективное использование автоматики в народном хозяйстве возможно лишь при условии рационального решения задач на всех этапах ее разработки и освоения. Наиболее ответственным этапом при проектировании систем автоматизации является их синтез, расчет и последующий анализ, которые на сегодняшний день базируются на теории управления. Эта наука позволяет не только найти параметры, при которых система работает устойчиво, различные качественные показатели системы, но также и оптимизировать систему для более рационального использования различных ресурсов.

1ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ

Определение оптимальных параметров настройки П, ПИ, ПИД - регуляторов производим по расширенных амплитудно-фазовым характеристикам.

Расширенной амплитудно-фазовой характеристикой звена или системы называют отношение вектора гармонических вынужденных затухающих колебаний на входе к вектору гармонических затухающих колебаний на входе.

Существуют два показателя степени затухания:

Y - относительная степень затухания;

m - логарифмический декремент затухания, которые связаны между собой следующим далее соотношением:

, (1.1)

Из предыдущей формулы (1.1) определяем значение логарифмического декремента затухания m:

, (1.2)

Система автоматического управления будет обладать требуемой относительной степенью затухания, если расширенная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой система автоматического управления будет проходить через точку на комплексной плоскости (-1, j0), т.е.

W_p(m,jw)* W_o(m,jw) = -1, (1.3)

или

-W_p(m,jw) = 1/ W_o(m,jw), (1.4)

Для получения расширенной амплитудно-фазовой характеристики необходимо в передаточную функцию подставить:

p = -mw + jw = w(j-m).

Рисунок 1.1 Структура схемы непрерывной САУ

Передаточная функция нашего исходного объекта имеет следующий далее вид:

, (1.5)

, (1.6)

Формула (1.6) представляет собой инверсную расширенную амплитудно - фазовой характеристику обьекта.

Так как заданое значение Y = 0.96, то по формуле (1.2) определим значение m и подставим его в предыдущую формулу расширенной амплитудно-фазовой характеристики, m = 0.512.

Перед тем, как определить оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД регуляторов найдем частоту среза нашего обьекта.

Частота среза – это такое значение частоты w = w_c, при котором значение амплитуды на выходе на превышало бы трех процентов от амплитуды при нулевой частоте.

Запишем выражение амплитудно - фазовой характеристики нашего обьекта:

, (1.7)

Амплитудно-фазовую характеристику обьекта можно найти из следующей формулы:

, (1.8)

где Re(w) – вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики;

Jm(w) – мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.

.

При нулевой частоте значение амплитуды равно 3.1 . Значит необходимо найти такое w = w_с, чтобы = 0.03*3.1 = 0.093.

Таким образом необходимо расчитать уравнение

, (1.9)

Решением этого уравнения является то, что мы находим следующие параметры w = 0.417, следовательно и w_c = 0.417.

Для опреления оптимальных параметров регулятора необходимо решить уравнение (1.6). Приравняв вещественные и мнимые части в уравнении (1.6), можэно получить расчетные формулы для определения параметров регуляторов (4, ст 250):

- П – регулятор:

- Пи – регулятор:

- Пид – регулятор:

где С₀ = 1/T_u;

C₁ = K_p;

C₂ = T_g.

Для ПИД – регулятора имеем два уравнения с тремя неизвестными, тогда задаемся отношением:

,

В этом случае расчет формулы для ПИД – регулятора принимает следующий далее вид:

где а = w(m²+1);

;

.

Расчет оптимальных параметров настройки для П – регулятора представлен следующим образом:

, (1.10)

Из второго уравнения системы (1.10) найдем w и подставим это значение в первое уравнение системы. При решении получи, что w = 0.354 и оптимильными параметрами настройки П – регулятора является значение К_р^опт = 1.01.

Рассчитываем оптимальные значения параметров настройки для ПИ – регулятора.

Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находи точки С₁С₀ и С₁, соответствующие требуемой степени затухания Y. Оптимальным параметром является является точка на линии, равной степени затухания С₁С₀ = f(С₁), лежащия справа от глобального максимума. Эти параметры обеспечивают:

.

Итак, запишем далее следующую систему уравнений для Пи – регулятора:

, (1.11)

Таблица 1.2

Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИ – регулятора.

w	C0	C1	C1C0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.417 0.5	0 0.029 0.073 0.059 -0.09 -0.134 -0.443	-0.323 0.117 0.382 0.777 1.228 1.307 1.753	0 4.858*10-4 0.028 0.046 -0.11 -0.175 -0.777

Рисунок 1.2 – График звисимости С₁С₀ = f(C₁) для Пи – регулятора

Максимальное значение функции С₁С₀ = 0.048 при С₁ = 0.694. Бе­рем точку правее глобального максимума С₁ = 0.777, С₁С₀ = 0.0459 . Решив систему уравнений (1.11) получим оптимальные параметры пастройки К_р^опт = 0.777, T_u^опт = 16.928.

Рассчитываем оптимальные параметры настройка для ПИД – регулятора:

, (1.12)

Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находи точки С₁С₀ и С₁, соответствующие требуемой степени колебательности m = 0.512 решив систему (1.12). Данные расчетов представлены в таблице 1.1 по эти данным построим график зависимости С₁С₀ = f(С₁).

Таблица 1.1

Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИД – регулятора.

w	C0	C1	C1C0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.417 0.5	0 0.12 0.2 0.226 0.184 0.172 0.113	-0.323 0.097 0.485 0.913 1.447 1.556 2.206	0 0.012 0.097 0.207 0.266 0.268 0.25

Рисунок 1.3 – График звисимости С₁С₀ = f(C₁)

Нужно взяь точку, лежащую справа от глобального максимума. Максимильное значение С₁С₀ =0.268 , при С₁ = 1.576. Берем точку С₁С₀ = 0.2592 при С₁ =1.9456. По этим значениям определим оптимальные параметры регулятора:

Таким образом оптимильные параметры настройки для ПИД – регулятора:

2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМАХ

Запишем выражение передатичной функции для системы в замкнутом состоянии:

, (2.1)

где .

Тогда выражение (2.1) будут иметь вид:

, (2.2)

Найдем передаточную функию для замкнутой системы с П – регулятором, т.е. W_p(p) = К_p . К_p – оптимальное значение, найденное в первом разделе , т. е. К_p = 1.01.

Предаточная функция замкнутой системы с П – регулятором имеет следующие вид:

, (2.3)

Переходная функция замкнутой системы:

, (2.4)

Найдем полюса фунгкции (2.4).

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны:

p₁ = 0;

p₂ = - 0.435;

p₃ = - 0.181 – j0.34;

p₄ = - 0.181 + j0.34.

Переходная функция для замкнутой системы с П – регулятором будет иметь следующий вид:

h(t) = 0.757-0.052e^-0.424t * cos(0.254t) - 0.3857e^-0.181t * sin(0.354t).

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Переходный процесс в замкнутой системе с П – регулятором.

Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИ – регулятором, т.е.:

.

В качестве К_р и Т_u берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем К_р = 0.777 и Т_u = 16.928. Тогда выражение передаточной функции имеет следующие далее вид:

, (2.5)

Запишем предаточную функция замкнутой системы с ПИ – регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1):

, (2.6)

Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

, (2.7)

Найдем полюса фунгкции (2.7).

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны:

p₁ = - 0.421;

p₂ = - 0.075;

p₃ = - 0.149 – j0.29;

p₄ = - 0.149 + j0.29;

p₅ = 0.

Переходная функция для замкнутой системы с ПИ – регулятором будет иметь следующий вид:

h(t) = 1- 0.0609e^-0.421t – 0.757e^-0.148t *cos(0.29t)-0.487^0.148t *sin(0.29t)-0.181e^-0.075t

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Переходный процесс в замкнутой системе с ПИ – регулятором.

Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИД – регулятором, т.е.:

.

В качестве К_р , Т_u и Т_g берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем К_р = 1.9456 , Т_u = 7.506, и Т_g = 0.976. Тогда выражение передаточной функции имеет следующий далее вид:

, (2.8)

Запишем предаточную функция замкнутой системы с ПИД – регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1):

, (2.9)

Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

, (2.10)

Найдем полюса фунгкции (2.10).

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны:

p₁ = 0;

p₂ = -0.405 – j0.116;

p₃ = -0.405 + j0.116;

p₄ = -0.039 – j0.192;

p₅ = -0.039 + j0.192.

Переходная функция для замкнутой системы с ПИД – регулятором будет иметь следующий вид:

h(t) = 1 – 0.2927e^-0.404t*cos(0.1157t)- 0.032e^-0.404t*sin(0.1157t)- 0.6934e^-0.038t*cos(0.1918t)- 0.2055e^-0.0388t*sin(0.1918t).

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Переходный процесс в замкнутой системе с ПИД – регулятором.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА КВАНТОВАНИЯ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА И ПЕРЕСЧЕТ ЕГО ВАРАМЕТРОВ

Необходимо выяснить соответствие коэффициентов неопределенногои цифрового регуляторов. Для выбора периода измерений цифрового регулятора строим амплетудно – частотную характеристику замкнутой системы и определяем частоту среза, при которой значение амплетуды на выходе не превышает три проценты от амплитуды при нулевом значении частоты.

Для этого возьмем передаточные функции замкнутой системы (для все типов регуляторов), которые были найдены во втором задании курсовой работы.

Передаточная функция замкнутой системы с П – регулятором:

, (3.1)

Передаточная функция замкнутой системы с ПИ– регулятором:

, (3.2)

Передаточная функция замкнутой системы с ПИД – регулятором:

, (3.3)

Выражение амплетудно – частотной характеристики для системы с П – регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.4)

Выражение амплетудно – частотной характеристики для системы с ПИ – регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.5)

Выражение амплетудно – частотной характеристики для системы с ПИД – регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.6)

Така как частота среза равна трем процентам от нулевого значения, то необходимо решить уравнение следующего вида:

. (3.7)

При решении уравнений было получено:

-частота среза для системы имеющей в стоем составе П – регулятор w_с = 2.25;

-частота среза для системы имеющей в стоем составе ПИ – регулятор w_с = 1.6738;

-частота среза для системы имеющей в стоем составе ПИД – регулятор w_с = 3.8194.

Частоту измерений принимают как:

, (3.8)

где w_c = 3.8194 (наибольшее значение), при котором период квантования равен T₀ = 0.411.

Так как полученное значение меньше заданного, то произведем пересчет параметров.

В общем виде дискрктную передаточную функцию искоиого элемента можно записать следующим образом:

. (3.9)

В нашем случае выражение (3.9) примет вид:

, (3.10)

где ;

;

.

C учетом этих выражений необходимо пересчитать параметры непрерывных регуляторов в параметры цифровых.

Запишем передаточные функции непрерывных регуляторов:

- П – регулятор

W_p(p) = 1.01; (3.11)

- ПИ – регулятор

; (3.12)

- ПИД – регулятор

. (3.13)

После вычисления коэффициентов q₀, q₁ и q₂ дискрктные передаточные функции будут иметь вид:

- П – регулятор

; (3.14)

- ПИ – регулятор

; (3.15)

- ПИД – регулятор

. (3.17)

4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УТРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ ДЖУРИ И ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ

При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части.

где y – дискретное значение регулируемой величины;

f – заданное значение регулируемой величины;

e – ошибка управления;

u – управляющее воздействие.

Рисунок 4.1 Структурная схема цифровой системы автоматического управления

Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида:

, (4.1)

то с учетом того, что z = e ^–pT , эту функцию можно записать в следующем далее виде:

. (4.2)

Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:

. (4.3)

Так как

,

переходная фнукция ленейной части системы, то z – передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению:

. (4.4)

Найдем выражение для передаточной функции линейной части:

. (4.5)

Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следйющего уравнения:

()*р = 0.

Решив данное уравнение мы получили , что его корни следующего вида:

p₁ = 0;

p₂ = - 0,2;

p₃ = - 0,33;

p₄= -0,25.

Переходная функция линейной части имеет следующий вид:

h(t) = -21,93e^-0.2t –4.03e^-0.33t +22.86e^-0.25t +3.1 . (4.6)

С учетом формулы (4.4) получаем

.

После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:

. (4.7)

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной чати и передаточной функции цифрового фильтра:

. (4.8)

Дискретная передаточная функция замкнутой системы:

. (4.9)

Определим значение W₃(z) для каждой из систем:

- система с П – регулятором. W_р(z) = 1.01, W_н.ч.(z) – определеня по формуле (4.7), тогда:

; (4.10)

- система с ПИ – регулятором.

;

W_н.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

; (4.11)

- система с ПИД – регулятором.

,

W_н.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

. (4.12)

После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

Критерий устойчивости заключается в следующем.

Пусть задан А(z) – характкристический полином:

A(z) = a₀zⁿ + a₁^n-1 + … + a_n, a₀ > 0.

Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке:

A(z) = a_nzⁿ + a_n-1^n-1 + … + a₀.

Разделим A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления число q₀ и остаток А₁(z) – полином n-1 степени.

Домножим полученый результат на z^-1 получаем:

A₁(z) = (a₀-a_nq₀)z^n-1 + … + (a_n-1-a₁q₀).

Затем делим остаток A₁(z) на обратный ему A₁₀(z) и определяем новое q₁ и A₂(z)

и т.д.

Выполняя деление полиномов A_i(z) на обратные ему A_i0(z), получаем последовательность чисел q_i = {q₀, q₁, q₂,…,q_n-2}.

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы является неравенства:

А(1)=(a₀+ a₁+ a₂+…+a_n)>0;

(-1)ⁿА(-1)=(a₀(-1)ⁿ + a₁(-1)^n-1 +…+a_n)>0;

|q_i|<1, i=0,1,2,…,n-2.

Используя выше изложенное, определим устойчивость наших систем.

Система с П-регулятором.

Характеристический полином имеет следующий вид:

А(1)= 1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817=0.003039>0 .

(-1)³A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.

А(z) = z³-2.7544z²+2.5359z - 0.7817

Обратный полином

.

Разделим A(z) на A₀(z).

-()	-0.7817=q0, |q0|<1

0,3852z-0,7686z²+0,3888z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₁(z)= 0,3852-0,7686z+0,3888z²,

A₁₀(z)= 0,3888-0,7686z+0,3852z².

Разделим A₁(z) на A₁₀(z).

0,3852-0,7686z+0,3888z2	0,3888-0,7686z+0,3852z2
-(0,3852-0,7614z+0,3816z2)	0,99065=q1, |q1|<1

-0.00718z+0.00723z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₂(z)= 0.007238z-0.007187.

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

Система с ПИ-регулятором.

Характеристический полином имеет вид:

Степень полинома n=4. Множество q_i = {q₀, q₁, q₂}.

А(1)= >0.

(-1)⁴A(-1)= >0.

.

Обратный полином:

.

Разделим A(z) на A₀(z).

0.78-3.326z+5.3001z2-3.756z3+ z4	1-3.7556z+5.3001z2-3.32z3+0.7834z4
-(0.78-2.943z+4.152z2-2.606z3+0.61z4)	0,783447=q0, |q0|<1

-0,383z+1.147z²-1.1506z³+0,3861 z⁴

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₁(z)= -0,383+1.147z-1.1506z² +0,3861 z³,

A₁₀(z)= -0,361+1.1506z-1.147z² +0,383 z³.

Разделим A₁(z) на A₁₀(z).

-0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3	-0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3
-(-0,383+1.141z-1.138z2 +0,3801 z3)	-0,992116=q1, |q1|<1

0,006046z-0,01207z²+0,00605z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₂(z)= 0,006046z-0,01207z²+0,00605z³,

A₂₀(z)= 0,00605-0,005474z²-0,006046z³.

Разделим A₂(z) на A₂₀(z).

0,006046z-0,01207z2+0,00605z3	0,00605-0,005474z2-0,006046z3
-(0,006046z-0,01207z2+0,00603z3)	0,99774=q2, |q2|<1

-0,000027278z+0,000027353z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₃(z) = -0,000027278z+0,000027353z²

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

Система с ПИД-регулятором.

Характеристический полином имеет вид:

Степень полинома n=5. Множество q_i = {q₀, q₁, q₂, q₃}.

А(1)=>0.

(-1)⁵A(-1)=>0.

,

Обратный полином:

.

Разделим A(z) на A₀(z).

	0,01589163=q0, |q0|<1

0,7347z-3,1644z²+5,102835z³-3,6802818z⁴+0,999747z⁵

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₁(z)= 0,7347-3,1644z+5,102835z²-3,6802818z³+0,999747z⁴,

A₁₀(z)= 0.99974 -3,680218z+5,1028z²-3,1644z³+0,7347z⁴.

Разделим A₁(z) на A₁₀(z).

0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4	0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4
-(0,7347-2.704z+3.750z2-2.3256z3+0.53999z4)	0,734938361=q1, |q1|<1

-0,4596z+1,3255z²-1,3545z³+0,4597z⁴

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₂(z)= -0,4596+1,3255z-1,3545z²+0,4597z³,

A₂₀(z)= -0,4597+1,3545z-1,3255z²+0,4596z³.

Разделим A₂(z) на A₂₀(z).

-0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3	-0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3
-0,4596-1,3244z+1,3525z2+0,4595z3	-0,99986442=q2, |q2|<1

-0,0288981z-0,02926z²+0,91927z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₃(z)= -0,0288981-0,02926z+0,91927z²,

A₃₀(z)= 0,91927-0,02926z-0,02889881z².

Разделим A₃(z) на A₃₀(z).

-0,0288981-0,02926z+0,91927z2	0,91927-0,02926z-0,02889881z2
0,0288981-0,0009198z+0,0.028898z2	0,0314359=q2, |q2|<1

-0,0305301z+1.028762z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₄(z)= -0,0305301+1.028762z.

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури, необходимо построить переходный процессы в замкнутых цифровых системах.

Для построения переходных процессов в замкнутых цифровых системах воспользуемся обратным z-преобразованием.

Eсли функция имеет m-полюсов z_k={z₁, z₂,…, z_n} , то:

, (4.13)

где A(z_k) – числитель функции W₃(z);

B^’(z_k) – производная знаменателя функции W₃(z);

Замкнутая система с П – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с П-регулятором имеет вид:

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f(n) найдем полюса функции

.

Полюся функции:

z₁ = 1;

z₂ = 0,8422;

z₃ = 0,954 – j0,313;

z₄= 0,954 – j0,313.

Производная знаменателя функции:

B^’(z) = -11.25z²+10.574z-3.317+4z³.

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для :

где a = z₁;

b = z₂;

c = z₃;

d = z₄;

Изобразим переходый процесс на рисунке 4.2

Рисунок 4.2 - Переходный процесс в системе с П – регулятором

Замкнутая система с ПИ – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:

;.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f(n) найдем полюса функции

.

Полюся функции:

z₁ = 1;

z₂ = 0.847;

z₃ = 0.965;

z₄ = 0.973 – j0.0113;

z₅= 0.973 + j0.0113.

Производная знаменателя функции:

B^’(z) = 5z⁴-19.027z³+27.171 z²-17.253z+4.110

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f(n):

где а = z₁;

b = z₂;

c = z₃;

d = z₄;

e = z₅;

Изобразим переходый процесс на рисунке 4.3

Рисунок 4.3 - Переходный процесс в системе с ПИ – регулятором

Замкнутая система с ПИД – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором имеет вид:

.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f(n) найдем полюса функции

.

Полюся функции:

z₁ = 1;

z₂ = -0,021;

z₃ = 0,84;

z₄ = 0,935-j0,171;

z₅= 0,935+j0,171;

z₆=0,98.

Производная знаменателя функции:

B^’(z) = 6z⁵-23.347 z⁴+34.893 z³-24.39 z²+7.505z-0.660

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f(n):

где а = z₁;

b = z₂;

c = z₃;

d = z₄;

e = z₅;

f = z₆.

Изобразим переходый процесс на рисунке 4.4

Рисунок 4.4 - Переходный процесс в системе с ПИД – регулятором.

5 Расчет цифрового фильтра

Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие:

|U_m – q₀|£0,05, (5.1)

где U_m = 1,0.

Вычисление значения q₀ следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:

. (5.2)

Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра W_ф(z) имеет вид:

, (5.3)

где p_i = b_iq₀, i = 1,2,…,m;

q_i = a_iq₀, i = 1,2,…,m;

.

Воспользуясь формулой (4.7) для W_нч(z) . Находим функции b_i , а_i и Т₀.

Для коэффициентов b_i имеем:

; (5.4)

;(5.5)

. (5.6)

Для коэффициентов а_i имеем:

; (5.7)

; (5.8)

. (5.9)

Найдем выражение для q₀ :

. (5.10)

Определим Т₀ при котором выполняется условие (5.1), для этого построим график зависимости и изибразим его на следующем рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – График зависимости |U_m – q₀(Т₀)|

При построении графика видим, что Т₀ = 4,61 , q₀(Т₀) = 1,002.

Определим коэффициенты , подставив найденное значение Т₀ в выражение (5.4) и (5.5):

b₁(Т₀) = 0,718;

b₂(Т₀) = 0,332;

b₃(Т₀) = -0,052;

a₁(Т₀) = -0,932;

a₂(Т₀) = 0,281;

a₃(Т₀) = -0,027;

Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.

. (5.7)

. (5.8)

Находим Z – передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле:

W_p(z) = W_н.ч.(z) * W_ф(z). (5.9)

Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – управляюшее воздействие по формуле:

, (5.10)

Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – выходной сигнал по формуле:

, (5.10)

Пусть f – функция определяющая зависимость между q₀ от Т₀, т.е. q₀=f(Т₀), тогда f ^–1 – обратная ей функция, т.е. Т₀=f ^–1(q₀). Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию
Т₀=f ^–1(q₀) с учетом условия (5.1).

Так как в явном виде функцию Т₀=f ^–1(q₀) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q₀ Î (3,45; 3,55) будет при q₀=3,55.

Расчет Т₀ сводится к решению уравнения

. (5.11)

Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что

Т₀ =1,25.

Подставляя значение Т₀ =1,25 в выражения (5.4)-(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.

Тогда

. (5.12)

При этом q₀ =3,540075. Согласно формуле (5.3)

. (5.13)

Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна W_р(z)=W_нч(z)*W_ф(z) и равна

. (5.14)

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – управляющие воздействие равна

(5.15)

и равна

.

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – выходная величина равна

(5.16)

и равна

.

Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.

. (5.17)

Так как

, (5.18)

то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что j(¥)=1, а m(¥)=0,4. Так как Dx(¥)=1, а j(0_-)=0 и m(0_-)=0, то коэффициент усиления по каналу задание – выходная величина равен 1, а по каналу задание – управляющие воздействие равен 0,4.

Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна

.

Для вычисления f(n) найдем полюса функции

.

Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса
1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции . Производная данного выражения равна

.

Тогда передаточная функция примет вид

.

Изобразим переходный процесс на графике.

Рисунок 5.2 – Переходная функция цифрового фильтра.

Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по каналам задание – выходная величина и задание – управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.

Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:

.

Значение искомой выходной величины равно

. (5.19)

Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой системе по:

· каналу задание – выходная величина

y(k)=0,647726×x(k-1) –0,620803×x(k-2) –0,037272×x(k-3) +0,149369×x(k-4) –0,024633×x(k-2) –0,001394×x(k-2) +1,481007×y(k-1) –0,695097×y(k-2)+ +0,101098×y(k-3);

· каналу задание – управляющие воздействие

y(k)=3,540075×x(k) –10,485749×x(k-1) +12,686121×x(k-2) –
–8,004397×x(k-3) +2,770507×x(k-4) –0,497542×x(k-5)+0,036182×x(k-6)+ +1,481007×y(k-1) –0,695097×y(k-2)+ +0,101098×y(k-3).

Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x(k)=1.

Таблица 5.1 – Переходная функция замкнутой цифровой системе по каналу задание – выходная величина

k	y(k)
0	0
1	0,648
2	0,986
3	1
4	1

6 Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части

Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в координатах времени имеет следующий вид:

m(t)=3,54(h(t)-h(t-T₀)) –1,703(h(t-T₀)-h(t-2*T₀))+ (6.1)

+0,758(h(t-2*T₀)-h(t-3*T₀))+0,4 h(t-3*T₀),

где

h(t) – функция Хевисайда;

T₀ – период квантования равный 1,25.

Тогда

m(t)=3,54(h(t)-h(t-1,25)) –1,703(h(t-1,25)-h(t-2,5))+ (6.2)

+0,758(h(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75).

Подобные работы: Системный анализ и проблемы принятия решений Системы поддержки и принятия решений Создание информационной системы Создание программных продуктов для решения задач Сравнение темпов развития ЭВМ с темпами эволюции человека Актуально: Главная Актуальные статьи и новости © 2010-2021, referat-web.ru