Дифференциальная геометрия

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является  группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Алгеброй нам кольцом скаляров с единицей наз. множество объектов с определенными над ними тремя операциями сложения, умножения и умножения на элементы из кольца скаляров, что оно является кольцом по первым двум операциям и линейным векторным пр-вом над кольцом скаляров.

Факторгруппой  называется множество объектов, являющиеся собой классами эквивалентности некоторой заданной группы G по подгруппе Н, каждый из которых получается последовательным сложением элементов из группы G с заданным элементом из подгруппы Н. Факторгруппа обозначается G/H.

Отображением одного множества в другое наз. набор правил сопоставляющих каждому объекту из первого множества объект из второго множества, называемого образом отображения.

Мономорфизмом называется отображение, устанавливающее взаимно однозначное соответствие между образом и прообразом.

Эпиморфизмом называется такое отображение, что для каждой точки образа существует элемент из прообраза, который в него перешел.

Система координат есть отображение некоторого пространства в числовые последовательности фиксированной длины, называемые координатами.

Дифференциалом отображения  из множества с системой координат u, v  во множество с системой координат x, y наз.  отображение касательных пр-в V_u в V_v, задаваемое матрицей            D(x, y)/D(u, v).

Рангом квадратной матрицы порядка n наз. число ее линейно независимых строк.

Ранг  наз. максимальным, если он совпадает с порядком матрицы.

Метрическим пр-вом наз. такое множество объектов, называемых точками, что для каждой упорядоченной пары точек этого множества определено неотрицательное действительное число, удовлетворяющее правилом треугольника и называемое расстоянием или метрикой.

Окрестностью радиуса R точки метрического пространства наз. множество точек, расстояние от которых до заданной точки не превышает радиуса.

Предельной точкой множества в метрическом пространстве наз. такая точка, что в любой сколь угодно малой окрестности этой точки найдется, по крайней мере, одна точка из этого множества кроме ее самой.

Открытым наз. такое множество, что для каждой его точки существует окрестность, целиком лежащая в этом множестве.

Замкнутым множеством наз. такое множество, дополнение к которому открыто.

Компактным наз. ограниченное замкнутое множество.

Связанным наз. множество, которое нельзя представить в виде непересекающихся множеств, таких, что одно  множество не содержит предельную точку другого.

Областью наз. открытое связанное множество.

n-мерным мн-зием наз.  метрическое пр-во M, если каждая точка Р которого  содержится в окрестности U из M, гомеоморфной некоторой области евклидова пространства Rⁿ размерности  n.

Атлас карт - система открытых множеств {U_i} покрывающих мн-зие М.

Непрерывным в точке а отображением ¦ топологического пространства С в С’ наз. такое отображение , что для  каждой окрестности U’ точки ¦(a) в С’ существует такая окрестность точки a в С, образ которой содержится в U’.

Непрерывным  отображением наз. отображение, непрерывное в каждой точке.

Гладким отображением наз. непрерывное отображение.

Гомеоморфизмом наз. непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее обратное отображение.

Координатный гомеоморфизм – отображение карты атласа М в соответствующую область V из Rⁿ.

Диффеоморфизмом  ¦ наз. гомеоморфизм  являющийся гладким отображением, такой, что обратное отображение тоже является гладким.

Локальной системой координат наз. система координат в области V евклидова пространства Rⁿ, где V – образ некоторой карты мн-зия M.

Функциям перехода от координат {}  к  {}называются функции, преобразующие одну в другую части двух карт на месте их пересечения = .

Гладким мн-зием наз. мн-зие, если на некотором его атласе функции перехода от координат {}к  {}непрерывно дифференцируемы для любой пары карт.

Погружением наз. такое гладкое отображение из одного мн-зия в другое,  что во втором мн-зии выделяется некая подобласть, для которой имеет место взаимно однозначное соответствие с точками исходного мн-зия.

Вложением наз. такое погружение,  если  образом погружения является замкнутое множество.

Подмн-зием наз. образ мн-зия при  вложении.

Ориентируемым мн-зием наз. такое мн-зие, для которого существует атлас, где все матрицы перехода из одной карты в другую имеют положительный якобиан.

Разбиением единицы , подчиненному покрытию U_a для многообразия M называется такая система действительнозначных функций j_a, что supj_aдостигается на U_a, сумма j_a(x)=1 на M.

Теорема. Пусть X – произвольное подпр-во Rⁿи U_a - его покрытие. Тогда существует Разбиением единицы , подчиненному покрытию U_a

Касательным пр-вом в точке a мн-зия М наз. совокупность касательных векторов кривых, проходящих через эту точку.

Производной функции ¦ по направлению V (x¹,…, xⁿ) в точке А называется число . Производная по направлению линейна, удовл. правилу Лейбница.

Лемма. Пусть функция ¦ равна нулю в окр-ти т. A и  {¶} – набор формальных операция, ставящих функции в соотв. Нек-рое число и удовл. пр-лу Лейбница. Тогда ¶¦(A)=0.

Лемма. ¶(Const)=0.

Лемма Адамара. Пусть ¦ - дифференцируема в окр-ти т. A тогда для т. B из окр-ти А справедливо соотношение : ¦(B)=¦(A)+(-).

Теорема. Сопоставление касательному вектору  в т. A производной по направлению этого вектора V_A®{¶} – изоморфизм.

Гладким расслоением  называется составной объект, состоящий из пр-ва расслоения (гладкое мн-зие Е), базы расслоения (гладкое мн-зие М), проекции расслоения  (гладкое отображение из пространства расслоения в базу, дифференциал которого имеет максимальный ранг), слоя  (гладкое мн-зие F),  структурной группа G гладких преобразований слоя F.

Структура расслоения задается набором диффеоморфизмов, которые каждому прямому произведению слоя F  на некоторую область из базы  ставят в соответствие прообраз этой области на расслоении а так же функциями перехода между прямыми произведениями слоя F  и  областями базы, где эти области пересекаются, причем функции склейки для слоя являются элементами структурной группы G гладких преобразований слоя F.

Касательным расслоением гладкого мн-я M наз. объединение всех  касательных пространств мн-зия.

Теорема. Размерность касательного расслоение n-мерного гладкого мн-я M – 2n.

Теорема. Пусть ¾ гладкое сюръективное отображение с компактными прообразами точек, N ¾ связное и все точки f регулярны. Тогда f ¾ расслоение. (В частности, все прообразы ¾ одинаковые многообразия).

Векторное поле определено на мн-зии, если каждой точке мн-зия сопоставлен некоторый вектор, координаты которого меняются непрерывно от точки к точке. Векторные поля образуют бесконечномерное пр-во.

Теорема. На Mⁿ(U_А) существуют такие гладкие кривые x¹(t),…, xⁿ(t), что касательные вектора к ним образуют касательно пр-во в точке А.

Коммутатором (Производной Ли)векторных полей x и h в системе координат x¹,…,xⁿ  наз. векторное такое поле (x, h), что   (x,h)ⁱ =-i=1,…,. Коммутатор – гладкое векторное поле, обладающее св-вами антикоммутативности ((u,v)=-(v,u)),  дистрибутивности и линейности в т.ч. (gv,hw)=gh(v,w) .

Неособой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой  векторное поле непрерывно и не обращается в нуль.

Особой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой нарушаются хотя бы одно из двух условий:1).в некоторой окрестности точки векторное поле непрерывно и  2) векторное поле не обращается в нуль в этой точке.

Невырожденной наз. такая особая точка векторного поля, что детерминант  в этой точке отличен от нуля, где xⁱ - координаты векторного поляx в системе координат (x¹,…, xⁿ).

Индексом особой точки векторного поля v(x), наз. знак детерминанта , где xⁱ - координаты векторного поля x в системе координат (x¹,…, xⁿ).

Базисным наз.  такое векторное поле  на мн-зии, что вектора, соответствующие ему на карте в каждой точке можно дополнить до базиса на этой карте.

Голономными называются такие векторные поля v и  w, что (v,w)=0.

Теорема. Пусть a₁,…,a_n – голономные л.н.з. поля, тогда локально они являются базисными.

Правильной для отображения  ¦ из мн-зия M₁ в M₂ наз. точка из исходного мн-зия M₁, такая, что матрица Якоби в этой точке имеет максимальный ранг.

Регулярной точкой отображения из мн-зия M₁ в M₂ наз. такая точка из мн-зия M₂,  что все точки из ее прообраза – правильные.

Степенью отображения в регулярной точке, прообраз которой состоит из конечного числа точек,  наз.  сумма знаков детерминантов отображений из прообразов регулярной точки в эту точку.

Числом вращения векторного поля в особой точке Р наз. степень отображения векторного поля на кривой, окружающей особую точку в единичную окружность по формуле ¦_x(x ¹,…,x ⁿ)=,  где x - векторное поле на мн-зии. Оно совпадает с индексом особой точки.

Сопряженным к пр-ву векторов V называют пр-во V^* линейных вектор-функций, называемых ковекторами. Матрицей перехода от одной системы координат К другой является матрица, обратная к якобиану.

Гладкой гомотопией  отображения ¦ из M в N наз. такое отображение цилиндра, полученного как  результат прямого произведения   гладкого мн-зия N на отрезок (0, 1), в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с ¦(x).

Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.

Гомотопными называются отображения ¦_t(x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения  содержатся в ней.

Гомотопически эквивалентными называют такие два многообразия, что существуют гладкие отображения, переводящие одно в другое и наоборот, что их композиции гомотопны соответствующим тождественным отображениям.

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейная ф-я от p векторов и q ковекторов. У него n^p+q координат =T(e₁,…,e_p,E¹,…,E^q).

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. объект, задаваемый в каждой система координат  набором чисел, преобразующихся при замене систем координат (x)®(x’) по закону:

=.

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейный функционал, заданный на мн-ии, аргументы к-го являются векторные поля.

Теорема. Эти определения тензора эквивалентны.

Теорема. Значение тензора на векторах и q ковекторах инвариантно относительно системы координат.

Сложение тензоров: =₁+₂.

Умножение Тензоров. =×.

Свертка Тензора.

Симметрирование. .

Альтернирование. .

Симметричным (Кососимметричным) называется такой тензор j, что j=j (j=(-1)^sj).

Теорема. j_alt – кососимметричный. j_sym – симметричный. (j)_alt=(-1)^sj.

(j)_sym=j_sym. Еслиj - симметричный, чтоj=j_sym.

Теорема. Пр-во кососимметричных тензоров типа (p,0) имеет размерность 0, если p>n и 1 иначе.

Операцией опускания индексов наз. операция, ставящая в соответствие тензору              тензор =, где a_ij- невырожденное тензорное поле типа (0, 2) (то есть $ A^-1(a^ij)).

Теорема. Симметричность инвариантна относительно замены координат.

.

Символами Кристоффеля наз. функция или в коорд. .

Теорема. .

Тензором Ковариантного дифференцирования Ñ  или связностью наз. тензор:

Ñ=  + - .

Тензор кручения наз. тензор, задаваемый в каждой системе координат равенством:

Симметричной наз. связность Ñ, тензор кручения  которой равен нулю.Ñ  линейна и удовлетворяет правилу Лейбница.

Теорема. Связность симметрична титт, когда .

Согласованной с Римановой связностью на мн-ии M называется такая Метрика G, что ÑG=0 всюду на мн-ии.

Теорема. На римановом мн-ии существует единственная риманова связность, согласованная с метрикой.

Тензором кривизны Римана данной связности Ñ наз. следующий тензор:

=.

Теорема. Пусть задано многообразие M и пусть тензор кривизны R на этом многообразии отличен от  нуля во всех точках, тогда на многообразии M нельзя ввести локально-евклидовы координаты, т.е. такие, в которых матрица g_ij постоянна.

Теорема. На двумерном Римановом мн-ии R=2K, где K – гауссова кривизна, а R =g^kl.

R(X,Y)Z=Ñ_xÑ_y(z)- Ñ_yÑ_x(z)- Ñ_(x,y)(z).

Кривизной по двумерному направлению X,Y называется число R()=(R(X,Y)X,Y), где  X, Y – заданные векторные поля.

Теорема. Пусть M – двумерное риманово многообразие и K(P) – гауссова кривизна, тогда R()=K(P).

Коммутатором ковариантного дифференцирования тензора наз. тензор  (Ñ_k,Ñ_l)(Tⁱ)=T^q, где (Ñ_k, Ñ_l) =(Ñ_kÑ_l  - Ñ_lÑ_k), и   T=(Tⁱ) – тензорное поле на заданном мн-зии.

Кососимметричным тензорным полем наз. такое тензорное поле , что его компоненты меняют знак при транспонировании любых двух соседних индексов одного типа.

Дивергенцией векторного поля по определению называют тензор

Div(Tⁱ)=.

Внешним умножением  кососимметричных тензоров j₁иj₂называется тензор  j₁^j₂=(j₁Äj₂)_alt. Оно линейно, антикоммутативно.

Св-во. Пусть j₁ и j₂ кососимметричные тензоры типа (p,0) и (q,0), тогда j₂^j₁=(-1)^pqj₁^j₂.

Алгеброй дифференциальных форм Ù(Mⁿ) наз. алгебра, представителями которой являются линейные комбинации w^(k)= и комбинации где – кососимметричное тензорное поле ранга q и индексы j1…jq упорядоченные в порядке возрастания. 

Внешними дифференциальными формами называются элементы алгебры дифференциальных форм w^(k). Они инвариантны относительно замены координат т.е.

.

Теорема. Многообразие ориентируемо титт, когда на нем задана  диф. форма w, отличная от нуля во всех точках    мн-я.

Теорема. Размерность дифференциальных форм степени k равна .

Rot(¦):=; Div(¦ ):=.

Градиентом внешней формыw наз. внешняя д.ф. dw, компоненты которой в локальной системе координат (x¹,…,xⁿ) имеют вид:

=. Grad(¦):=.

Градиент внешней формы линеен и обладает следующими свойствами:

1) d(w₁Ùw₂)=dw₁Ùw₂+w₁Ùdw₂.

d(dw)=0.

Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.

Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.

Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества,  на котором дифференциальная  форма отлична от нуля.

Сосредоточенной , относительно заданной точки, дифференциальной формой  наз. такая д.ф., что  она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.

Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.

Продолжением дифференциальной формы по отношению к подмн-зию К мн-зия М, наз. такая д.ф. над мн-зием М что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К.

Теорема. Пусть y- отображение из мн-я M в мн-е N, пусть y^* - отображение диф. форм из M в N, тогда

.

dy^*(w)= y^*(dw).

Сл-е. Замкнутость и точность диф. форм  - инвариант.

Интегралом диф. формы w по карте D ориентируемого мн-ия M  называется выражение , где S_x ровно знаку ориентации карты D.

Утверждение. Для интегрируемой ф-ии ¦ найдется такая диф. форма w=S_x¦(x), где  S_x ровно знаку ориентации карты D, а G – метрика, что их интегралы равны.

Формула Стокса. Для ориентируемого многообразия с краем M и диф. формы w .

Группой когомологий де Рама наз. фактор - пр-во замкнутых внешних дифференциальных форм степени k по подпространству точных форм размерности k мн-зия M и обозначается через H^k(M) или (M) если носителем дифференциальной формы является компакт. Всякая точная форма является замкнутой, так как    d(dw ‘) = dd(w¢)=0.

Кольцо всех замкнутых внешних дифференциальных форм произвольной степени мн-я M обозначается через H^*(M).

Обратным образом ¦*(w) внешней дифференциальной формы w на M₂наз. такая внешняя д.ф. на мн-зии M₁, задаваемое формулой: ¦*(x₁,…,x_k)=w(d¦(x₁),…,d¦(x_k)), где x₁,…,x_kпринадлежат касательному пространству точки Р из M₂ и являются образами  отображения ¦, где ¦ - гладкое отображение мн-зий .

Теорема. Группы когомологий де Рама гомотопных мн-й изоморфны.

Производной вдоль кривой g наз. выражение: Ñ_g=x^kÑ_k(), где

g(t) – поле скоростей с координатами {x^k} в некоторой системе координат и Ñ - аффинная связность на Mⁿ, задаваемая в системе координат набором частных дифференцирований Ñ_k.

Уравнением параллельного переноса наз. уравнение

=0.

Геодезической в данной связности Ñ наз. гладкая кривая на мн-зии Mⁿ c аффинной связностью Ñ, если  (g)=0, где  - векторное поле скоростей траектории g(t).

Теорема. Геодезическая в данной связности Ñ задается уравнением =0.

Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на сфере со стандартной метрикой являются все центральные плоские сечения сферы и только они.

Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на псевдосфере в модели Пуанкаре  со стандартной метрикой являются все дуги окружностей выходящих на абсолют под прямым углом и только они.

Теорема. Локально существует единственная геодезическая кривая, проходящая через заданную точку.

Лагранжианом называют функцию , зависящую от трех групп переменных 1££, 1£a£n, 1£i£k.

Стационарной для функционала J называется такая ф-я ¦, что по любому направлению h.

Системой функциональных уравнений Эйлера называется система .

Теорема. Функция ¦ является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.

Теорема. Пусть дана кривая g и функционал . Тогда экстремалями функционала E являются геодезические траектории g(t), параметризованные параметром, пропорциональным натуральному.

Теорема. Функция ¦ является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.

Теорема. Пусть дана кривая g и функционал . Тогда экстремалями функционала L являются траектории  получающиеся из геодезических путем гладких замен параметров на них.