Познание природы и логика

Давид Гильберт: Мы будем знать!

По таланту, богатству полученных результатов и широте мышления немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) был уникальной фигурой даже среди самых блестящих математических умов. Он оставил заметный след во многих областях математики, создал новые направления математических исследований и обогатят культуру XX века важными и глубокими работами, посвященными теории познания, роли и месту математики в системе современной науки, природе математической истины, аксиоматическому методу и взаимосвязи теоретического мышления и опыта. Выступая в 1900 году на Международном математическом конгрессе в Париже, Гильберт сформулировал знаменитые двадцать три проблемы, которые, по его мнению, математика XIX века завещала математике XX века. С тех пор на протяжении почти целого столетия многие существенные продвижения в математической науке связаны с решением проблем Гильберта -такова была мощь его интеллекта, острота прозрения и широта кругозора, глубина понимания задач, стоявших перед математикой и точным естествознанием. И если в 2000 году в Париже или в какой-нибудь другой точке земного шара соберется в очередной раз Международный математический конгресс, то на нем вряд ли прозвучит доклад, аналогичный сделанному Гильбертом,- время универсалов, свободно переходивших в своем творчестве от одной области своей науки к другой и получавших результаты настолько глубокие и полные, что развитие области порой надолго приостанавливалось, прошло безвозвратно.

Гильберт родился близ Кенигсберга, города Канта, и на всю жизнь сохранил глубокую привязанность к городу своего детства, университету и друзьям, в первую очередь Гурвицу и Минковскому, вписавшим не одну яркую страницу в современную математику. В отличие от многих собратьев по математической науке Гильберт живо интересовался тем, что происходит за рамками собственно математики - в физике, биологии, философии. Его интерес носил не "платонический", чисто познавательный характер, а был активным. В знаменитом Математическом институте в Геттингене, руководетелем которого Гильберт был долгие годы, заседания семинара в двадцатые годы, когда создавалась квантовая механика, неизменно открывались словами Гильберта: "Итак, господа, подобно вам, я хотел бы, чтобы кто-нибудь объяснил мне, что такое атом". Свом науку, математику, Гильберт рассматривал как инструмент познания природы. Создавая и оттачивая то оружие, которое математик прямо или опосредованно готовит своему собрату, работающему в одной из областей точного естествознания, Гильберт внимательно следил за бурным развитием физики и внес свою ощутимую лепту, например, в создание общей теории относительности и квантовой теории.

Будущее своей науки Гильберт видел в оптимистических тонах, глубоко веря, что математика счастливо избежит распада на многочисленные не связанные между собой ветви. Он был глубоко убежден, что в математике не существует неразрешимых проблем. Его девизом стало: "Мы должны знать, мы будем знать". Этим высказыванием Гильберт завершил и свое знаменитое выступление на Парижском математическом конгрессе в 1900 году, и предлагаемую вниманию читателя статью - выступление Гильберта перед коллегами-математиками в 1930 году, не утратившие своего значения и поныне. Публикуем это выступление с небольшими сокращениями.

***

Познание природы и жизни - наша первейшая задача. На ее решение направлены все усилия и вся воля человечества, и чем дальше, тем плодотворнее становятся эти усилия. За последние десятилетия нам удалось расширить и углубить наши знания о природе больше, чем за столько же столетий в прошлом. Сегодня мы хотим воспользоваться столь благоприятным положением, чтобы рассмотреть старую философскую проблему, а именно - многократно обсуждавшийся вопрос о том, какая доля нашего знания приходится, с одной стороны, на мышление, а с другой - на опыт. Этот старый вопрос вполне обоснован потому, что ответить на него по существу - означает установить, какова вообще природа нашего естественнонаучного знания и в каком смысле знание, которое мы получаем, занимаясь естественными науками, есть истина.

Без всякого выпада в адрес старых философов мы можем сегодня рассчитывать на более правильное решение этого вопроса с большей уверенностью, чем они, по двум причинам. Первая из них - уже упоминавшийся быстрый темп развития современной науки.

Важнейшие открытия прошлого - от Коперника, Кеплера, Галилея до Максвелла - разделены огромными временными промежутками и растянулись почти на четыре столетия. Новое время начинается с открытия волн Герца. Затем удар следует за ударом: Рентген открывает свои лучи, супруги Кюри - радиоактивность, Планк закладывает основы квантовой теории. И в новейшее время открытия новых явлений и поразительных зависимостей следовали одно за другим так, что множество действующих лиц непрестанно пополнялось: теория радиоактивности Резерфорда, теория фотоэффекта ("закон "аш-ню"") Эйнштейна, объяснение спектров Бором, нумерация химических элементов Мозли, теория относительности Эйнштейна, теория радиоактивного распада атомов по Резерфорду, строение атомов по Бору, теория изотопов по Астону.

В одной лишь физике мы стали свидетелями непрерывной вереницы открытий! По значимости ни одно из них не уступает достижениям прошлого, но они следуют одно за другим через существенно меньшие промежутки времени, хотя по своему внутреннему разнообразию ничуть не ниже открытий прошлого. В новых открытиях постоянно обнаруживается теснейшая взаимосвязь между теорией и практикой, мышлением и опытом. То теория, то эксперимент вырываются вперед, подтверждая, дополняя и стимулируя друг друга. Нечто аналогичное наблюдается также и в химии, астрономии и биологических науках.

По сравнению со старыми философами мы обладаем тем преимуществом, что на протяжении своей жизни стали свидетелями многих открытий и волей-неволей испытали на себе нововведения, вызванные появлением этих открытий. Среди этих открытий было немало таких, которые в корне изменяли старые, устоявшиеся взгляды и представления и даже приводили к полному отказу от них. Вспомним хотя бы о новом понимании одновременности событий в теории относительности или о распаде химических элементов и о том, как были устранены с их появлением старые взгляды, усомниться в которых до того никому не приходите в голову.

Но решению старой философской проблемы, о которой мы упомянули, ныне способствует и другое обстоятельство. В наше время на недосягаемую высоту поднялись не только техника экспериментирования и искусство возведения здания теоретической физики, но и их дополнение - логическая наука - достигло существенного успеха. Ныне существует общий метод рассмотрения естественнонаучных вопросов, который во всех случаях облегчает уточнение постановки проблемы и способствует подготовке ее решения. Я имею в виду аксиоматический метод.

Возникает вопрос: какое отношение имеет познание природы к аксиоматике, о которой сегодня говорится так много? Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории. Но значение аксиоматики отнюдь не исчерпывается этим замечанием. Лучше всего суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода - геометрия Евклида. Но я хотел бы кратко пояснить суть аксиоматического метода на весьма ярком примере из современной биологии.

Дрозофила - это крохотная плодовая мушка, но наш интерес к ней велик; она стала объектом обширнейших, кропотливейших и успешнейших экспериментов по селекции. Обычно это мушка серого цвета, красноглазая, без пятен, с закругленными длинными крыльями. Но встречаются также желтые, а не серые мушки с белыми, а не красными глазами и т. д. Обычно пять перечисленных выше отличительных признаков взаимосвязаны, то есть если мушка желтая, то у нее к тому же белые глаза, она пятнистая, ее крылья имеют вырезы и скошены. Если у мушки косые крылья, то она к тому же желтая, имеет белые глаза и т. д. При подходящих скрещиваниях у потомства появляются в небольшом числе отклонения от этих обычных комбинаций признаков, причем в постоянной пропорции. Характеризующие такие отклонения числа находятся экспериментально. Они удовлетворяют евклидовой аксиоме конгруэнтности и аксиоме о геометрическом понятии "между", поэтому законы наследственности выступают как одно из приложений аксиом линейной конгруэнтности, то есть элементарных геометрических теорем об отрезках, откладываемых на прямой, причем с такой удивительной точностью, о которой нельзя было бы мечтать в самых смелых фантазиях.

А вот еще один пример аксиоматического метода, заимствованный мной из совершенно другой области. Мы привыкли к тому, что в наших теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове "логика" у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном. Но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов. Рассмотрим, например, общий процесс отрицания и особенно понятие "бесконечность". Что касается этого понятия, то необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла и без более подробного исследования лишена всякого смысла, так как существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же действие по своей природе дискретно и существует только квантами. Не существует ничего континуального, сплошного, бесконечно делимого. Даже свет обладает корпускулярной, атомистической структурой, как и действие.

Наша Вселенная, по моему глубокому убеждению, обладает лишь конечной протяженностью, и астрономы когда-нибудь сообщат нам, на сколько километров простирается мировое пространство в длину, высоту и ширину. И хотя в реальных случаях встречаются очень большие числа, например расстояния до звезд в километрах, или число потенциально возможных существенно различных шахматных партий, тем не менее нескончаемость, или бесконечность, поскольку она представляет собой отрицание того состояния, которое доминирует повсюду, есть чудовищная абстракция, которая реализуется только путем сознательного или несознательного применения аксиоматических методов. Подобная точка зрения на бесконечность, которую я обосновал подробными исследованиями, позволила решить ряд принципиальных вопросов, в частности кантовские антиномии о пространстве и о бесконечной делимости становятся беспредметными, и следовательно, разрешаются возникавшие в связи с антиномиями трудности.

Обратимся теперь к интересующей нас проблеме взаимосвязи природы и мышления. Мы хотели бы обсудить три главные точки зрения. Первая из них связана с только что упоминавшейся проблемой бесконечности. Мы видим, что бесконечность нигде не реализуется; она не существует в природе и недопустима без особых оговорок как основа нашего мышления. Я усматриваю в этом важный параллелизм природы и мышления, основополагающее совпадение опыта и теории.

Мы воспринимаем также еще один параллелизм: наше мышление исходит из единства и стремится создать единство; мы наблюдаем единство вещества и материи и повсюду констатируем единство законов природы. При этом природа весьма охотно идет нам навстречу в наших исследованиях, как бы с готовностью раскрывая свои тайны. Сильно разреженное распределение массы в мировом пространстве способствовало открытию и уточнению закона всемирного тяготения Ньютона. Несмотря на огромную величину скорости света, Майкельсон сумел достоверно установить, что при достаточно быстром обращении Земли вокруг Солнца не выполняется закон сложения скоростей ньютоновской механики. Меркурий, чтобы доставить нам удовольствие, движется так, что его перигелий прецессирует, и, измеряя величину прецессии, мы получаем возможность проверить теорию Эйнштейна. Луч света от неподвижных звезд проходит вблизи Солнца, что позволяет нам наблюдать его искривление.

Но еще больше обращает на себя внимание то, что мы в несколько ином смысле, чем Лейбниц, называем предустановленной гармонией, которая является воплощением и реализацией математической мысли. Старыми примерами предустановленной гармонии служат конические сечения, ставшие предметом изучения задолго до того, как мы догадались, что планеты и даже электроны движутся по эллиптическим орбитам. Но самым грандиозным и чудеснейшим примером предустановленной гармонии может служить знаменитая теория относительности Эйнштейна.

Такое совпадение между природой и мышлением, экспериментом и теорией можно понять только в том случае, если принять во внимание формальный элемент и связанный с ним механизм с обеих сторон - природы и нашего разума. Математический процесс элиминации, или исключения приводит, как нам кажется, к точкам покоя и остановкам, в которых пребывают как тела в реальном мире, так и идеи в мире духовном, и тем самым становятся доступными контролю и сравнению.

Между тем даже эта предустановленная гармония отнюдь не исчерпывает взаимосвязи между природой и мышлением и не открывает глубочайшие тайны нашей проблемы. Чтобы разобраться в ней, рассмотрим весь комплекс физико-астрономических знаний. В современной науке мы отмечаем одну точку зрения, далеко выходящую за рамки старых постановок вопроса и цели нашей науки. Заключается она в том, что современная наука учит не только определять в смысле классической механики по данным существующего ныне настоящего будущие движения и ожидаемые явления, но и подсказывает, что реально существующие ныне состояния материи на Земле и во Вселенной не случайны или произвольны, а следуют из физических законов.

Важнейшим тому примером служат модель атома Бора, структура мира звезд и, наконец, вся история развития жизни. Следование аксиоматическим методам должно, как нам кажется, действительно привести к системе законов природы, соответствующих в своей совокупности действительности, и необходимо лишь мышление, то есть дедукция в терминах понятий, чтобы построить все физическое знание; и тогда был бы прав Гегель, утверждавший, что все явления природы можно вывести из понятий. Но такое заключение неверно. Действительно, как обстоит дело с происхождением мировых законов? Как мы их получаем? Откуда нам известно, что они соответствуют действительности? Ответ гласит, что обо всем этом мы знаем только из опыта.

В отличие от Гегеля мы знаем, что законы окружающего мира не могут быть получены никаким другим способом, кроме как из опыта. В построении системы физических понятий могут принимать участие и различные чисто умозрительные точки зрения, но о том, соответствуют ли друг другу установленные законы и построенная из них логическая система понятий, в состоянии судить только опыт. Иногда идея впервые возникает в области чистого мышления, как это было, например, с идеей атомистики Демокрита, тогда как существование атомов было доказано экспериментальной физикой лишь через две тысячи лет. Иногда опыт опережает, и под его влиянием разум вырабатывает умозрительную точку зрения. Так под сильным воздействием эксперимента Майкельсона было устранено глубоко укоренившееся предстааление об абсолютном времени, и Эйнштейн смог сформулиропать идеи специальной теории относительности.

Тот же, кто вопреки этому отрицает, что законы окружающего нас мира происходят из опыта, должен утверждать, что помимо дедукции и опыта существует некий третий источник познания.

В действительности философы утверждали (классическим представителем этих взглядов был Кант), что помимо логики и опыта мы априори обладаем еще некоторым знанием о действительности. При этом априорность выступает не больше и не меньше как основополагающая установка или как выражение некоторых необходимых предпосылок мышления и опыта. Но границу между тем, чем, с одной стороны, мы обладаем априори, а с другой стороны, тем, для чего необходим опыт, мы должны проводить не так, как это делал Кант; Кант сильно переоценивал роль априорного и объем этого понятия. Во времена Канта можно было думать, что существовавшие тогда представления о пространстве и времени обладают такой же степенью общности и так же непосредственно связаны с действительностью, как, например, представления о числе, упорядоченности и величине, которые мы постоянно и привычно используем в математических и физических теориях. При таком подходе теория пространства и времени, в частности геометрия, должна быть чем-то таким, что так же, как и арифметика, предшествует всему естествознанию. Но от точки зрения Канта отказались еще до того, как этого потребовало развитие физики, в частности Риман и Гельмгольц, причем с полным основанием, ибо геометрия есть не что иное, как та самая часть общей физической системы понятий, которая отображает возможные взаимосвязи между положениями твердых тел в мире реальных вещей.

Разумеется, то, что вообще существуют подвижные твердые тела и каковы взаимосвязи между положениями тел,- дело опыта. Теорема о том, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам, также может быть установлена или опровергнута с помощью опыта, о чем знал еще Гаусс. Например, если бы было доказано, что все факты, выражаемые теоремами о конгруэнтности, соответствуют опыту, а сумма углов в некотором треугольнике, построенном из твердых тел, оказалась меньше двух прямых углов, то никто не стал бы утверждать, что аксиома о параллельных должна выполняться в пространстве реальных тел.

Принимая априорную точку зрения, необходимо соблюдать величайшую осторожность; ведь многое из того, что когда-то было принято считать априорным знанием, ныне признано совершенно неприемлемым. Наиболее яркий тому пример - представление об абсолютной синхронности. Абсолютная синхронность не существует, как ни привыкли мы к этому представлению с детства, поскольку в повседневной жизни речь идет лишь о небольших расстояниях и медленных движениях. Если было бы иначе, то никому не пришло бы в голову вводить абсолютное время.

Но даже такие глубокие мыслители, как Ньютон и Кант, неоднократно высказывали сомнение в абсолютном времени. Осторожный Ньютон сформулировал требование абсолютности времени предельно четко: абсолютное истинное время течет само по себе и в силу своей природы равномерно и безотносительно к какому-либо телу. Тем самым Ньютон честно отрезал все пути к отступлению и компромиссу, а Кант, критически мыслящий философ, оказался совсем не критичным, поскольку без каких-либо оговорок принят точку зрения Ньютона. И только Эйнштейн решительно освободил нас от предрассудка абсолютного времени - и это навсегда останется одним из величайших достижений человеческого духа. Теория гравитации Эйнштейна показала со всей очевидностью, что геометрия есть не что иное, как ветвь физики; геометрические истины во всех отношениях устанавливаются так же, как физические истины, и ничем не отличаются от последних. Например, теорема Пифагора и закон всемирного тяготения Ньютона взаимосвязаны, поскольку они оба подчиняются одному и тому же фундаментальному физическому понятию - потенциалу. Но для каждого, кто знаком с теорией гравитации Эйнштейна, не подлежит сомнению, что оба эти закона, столь различные внешне и считавшиеся ранее столь далекими, один из которых стал известен еще в древности и был одной из первых теорем, изучаемых в школе, а другой описывает взаимодействие масс, не только однотипны по своей природе, но и являются лишь частью одного и того же общего закона.

Вряд ли можно привести более поразительный пример принципиальной однотипности геометрических и физических факторов. Однако при обычном логическом построении и в силу повседневного опыта, приобретаемого с детства, геометрические и кинематические теоремы предшествуют теоремам динамики, и именно этим объясняется, что иногда об опыте вообще забывают. Итак, мы видим следующее: в кантовской априорной теории еще содержатся антропоморфные шлаки, от которых ее необходимо очистить, а после их удаления останется лишь та априорная установка, которая лежит в основе чисто математического знания; по существу, это и есть та финитная установка, которую я излагал в различных своих работах.

Инструментом, посредством которого осуществляется взаимосвязь теории и практики, мышления и наблюдения, служит математика; она наводит мосты и неусыпно следит за тем, чтобы те не утратили способность выдерживать нагрузку. Отсюда следует, что в основе всей нашей современной культуры, поскольку она направлена на постижение природы разумом и использование природы на благо человеку, лежит математика. Еще Галилей сказал: "Понять Природу может лишь тот, кто знает язык, на котором она говорит с нами и его письмена; язык же ее - математика, письмена - математические фигуры". Канту принадлежит следующее высказывание: "Я утверждаю, что в каждой области естествознания собственно науки, столько, сколько в ней математики". И действительно, любой естественнонаучной теорией мы не овладеваем до тех пор, пока не выделим в ней математическое ядро и не раскроем его полностью. Без математики невозможны современная астрономия и физика; эти науки в своих теоретических частях растворяются в математике. Помимо них существуют также многочисленные другие приложения, снискавшие благодаря математике признание - в той мере, в какой широкая публика использует математику.

Тем не менее математики отказываются судить о достоинствах математики по ее приложениям. Такого же мнения придерживался и князь математиков Гаусс, бывший непревзойденным знатоком прикладной математики и создавший целые науки (например, теорию ошибок и геодезию), в которых математика была призвана играть главную роль. Когда астрономы потеряли астероид Цереру (одно из наиболее важных и интересных небесных тел) и никак не могли найти его снова, Гаусс разработал математическую теорию и на основе ее предсказал, где должна находиться Церера. Гауссу принадлежит также изобретение телеграфа и других практических устройств. Чистая теория чисел - та область математики, которая пока не нашла применения. Но именно теорию чисел Гаусс называл царицей математики, и именно теория чисел владела умами почти всех великих математиков, включая самого Гаусса. Того же мнения придерживаемся и все мы.

Наш великий кенигсбергский математик Якоби думал так же; Якоби, чье имя стоит рядом с именем Гаусса и произносится с благоговением всеми, кто занимается нашей наукой. Знаменитый Фурье сказал однажды, что основная цель математики заключается в объяснении природных явлений, и Якоби обрушился на Фурье за это высказывание со всей мощью своего необузданного темперамента. Такой философ, как Фурье, возглашал Якоби, должен был бы знать, что единственная цель всей науки состоит в возвеличивании человеческого духа и что с этой точки зрения любая задача чистой теории чисел столь же достойна внимания, как и любая проблема, служащая приложениям.

Тот, кто способен почувствовать истинность возвышенного склада мышления и взгляда на мир, отчетливо слышных в этих словах Якоби, не поддастся отступническим и бесплодным сомнениям; тот не поверит тем, что ныне с философской миной на лице и глубокомысленным тоном пророчествует о закате культуры и склоняется к мысли о непознаваемости мира. Для математика не существует непознаваемого, как, по моему мнению, его не существует и для естествоиспытателя. Философ Кант сказал както (указав в качестве примера неразрешимой проблемы), что науке никогда не удастся установить химический состав небесных тел. А через несколько лет Кирхгоф и Бунзен решили эту проблему с помощью спектрального анализа, и сегодня мы можем рассматривать самые далекие звезды как важнейшие физические и химические лаборатории, равных которым мы не можем найти на Земле. Истинная причина, по которой Канту не удалось найти неразрешимую проблему, по моему мнению, состоит в том, что неразрешимых проблем вообще не существует. Вместо непознаваемого, о котором твердят глупцы, наш лозунг гласит прямо противоположное: Мы должны знать, мы будем знать.