Дедукция

Дедукция (в сравнении с индукцией) обладает меньшей эвристической силой. Однако отождествлять дедуктивные доказательства с догматической формой изложения все же не следует. Дедуктивное доказательство объясняет изучаемый факт; в педагогических целях оно может быть дополнено элементами разъяснений, мотивировок, указаний на общее направление рассуждения, краткой аргументацией выбора математического метода и т.д.

Дедукция (от лат. deductio-выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).

Впервые теория дедукции (логического вывода) была разработана Аристотелем. Эта теория развивалась, совершенствовалась с развитием науки логики. Особое развитие с учетом потребностей математики она получила в виде теории доказательства в математической логике.

Дедуктивное рассуждение (умозаключение) отличается от индуктивного или рассуждения по аналогии достоверностью заключения, т. е. в дедуктивном рассуждении заключение истинно, по крайней мере когда истинны все посылки. В отличие от индукции (неполной) и аналогии в дедуктивном рассуждении нельзя получить ложное заключение из истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах (доказательствах математических предложений).

Широкое применение дедукции в математике обусловлено аксиоматическим методом построения математических теорий.

Аксиоматический метод по существу представляет собой своеобразный метод установления истинности предложений математической теории, состоящий в следующем: некоторые предложения, выражающие основные свойства первоначальных понятий или отношения между ними, принимаются за истинные. Это исходные предложения, или аксиомы теории. Истинность же остальных предложений, теорем этой теории, устанавливается с помощью дедуктивных доказательств, т. е. все остальные предложения теории логически выводятся (дедуцируются) из предшествующих им предложений, т. е. из аксиом, определений и ранее доказанных теорем. Вот почему математику и называют "дедуктивной" наукой (в ней все выводится, "дедуцируется" из некоторых исходных фактов, выраженных в аксиомах).

Дедукция как метод обучения математике включает:

1) обучение дедуктивным доказательствам и

2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т. е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.

Рассмотрим эти два аспекта дедукции как метода обучения.

1) Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска и построения доказательства, а не воспроизведению и заучиванию готовых доказательств. В таком понимании это педагогическая задача первостепенного общеобразовательного и воспитательного значения, выходящего за рамки математического образования. Учить доказывать означает прежде всего учить рассуждать, а это одна из основных задач обучения вообще. Что же касается значимости этой задачи для усвоения математических знаний, то она соразмерна значимости доказательства в самой математике.

Поиск доказательств осуществляется средствами, отличными от дедуктивных, и вопрос об обучении поиску доказательства будет предметом следующего параграфа.

Обучение поиску и построению доказательств направляется тремя основными вопросами: "Что?", "Откуда?", "Как?"

а) Что? - что доказывается? Каково "доказываемое" предложение, для которого мы ищем доказательство? Как оно формулируется? Все ли понятно в этой формулировке? Нельзя ли иначе формулировать доказываемое предложение? Что "дано"? Что "требуется доказать"? Это далеко не полный перечень вопросов, которые мы объединяем в одном вопросе "Что?". Они связаны с изучением доказываемого предложения, с возможным приведением его к более удобному для выяснения условий и заключения виду. Например, представление доказываемых предложений в виде импликаций с использованием связки "если..., то..." облегчает учащимся выявление того, что "дано" (предложение, записанное между словами "если" и "то") и что "требуется доказать" (предложение, записанное после слова "то"). Например, расчленение теоремы "Вертикальные углы равны" на условие и заключение обычно -вызывает затруднения у учащихся, но эти затруднения сразу устраняются, если сформулировать теорему в виде импликации: "Если углы вертикальные, то они равны". Аналогично теорема "Диагонали ромба взаимно перпендикулярны" представляется в форме "Если параллелограмм - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны", в которой легко определить условие и заключение.

Необходимо выяснять все условия теоремы. Так, мы не сможем доказать, что среднее арифметическое двух чисел больше их среднего геометрического, если не учтем, что это верно лишь для двух положительных и неравных между собой чисел. Это подчеркивается в следующей записи этой теоремы в виде импликации:

б) Откуда? - откуда, из каких посылок следует (может следовать) доказываемое предложение? Из каких уже известных истинных предложений данной области (аксиом, определений, ранее доказанных теорем) можно было бы "вывести" это предложение?

Ответ на этот вопрос требует концентрации внимания на содержании условий и заключения доказываемого предложения с целью выделения тех уже известных предложений, которые как-то связаны с этими условиями. Совокупность этих предложений составляет базу для поиска доказательства. Эти совокупности могут быть различными, указывая на различные направления поиска, приводящие к различным доказательствам одной и той же теоремы. Например, готовясь к доказательству теоремы о трех .перпендикулярах, мы можем выделить (вспомнить) совокупность известных предложений, связанных с перпендикулярностью прямой и плоскости (определение, признак), но можем также думать о предложениях, связанных с перпендикулярностью векторов. В результате мы получаем два направления поиска и два различных доказательства теоремы о трех перпендикулярах.

в) Как? - как доказываемое предложение получается (выводится) из ранее известных предложений (аксиом, определений, теорем)?

Этот вопрос находит в массовой практике обучения простой ответ: "С помощью рассуждения". Так разъясняется понятие доказательства в ныне действующих и пробных учебных пособиях по геометрии для VI-Х классов школы. Этим разъяснением интуитивное понятие доказательства сводится к другому интуитивному же понятию рассуждения, которое, по-видимому, считается более ясным. Однако вряд ли слово "рассуждение" говорит учащимся намного больше, чем слово "доказательство", не говоря уже о том, что не всякое рассуждение может служить доказательством (имеет доказательную силу).

Можно предполагать (и некоторые эксперименты подтверждают), что по вопросу о том, как мы рассуждаем, можно подняться в школьном обучении (по крайней мере в школах с углубленным изучением математики или на факультативных занятиях) на более высокий уровень, можно достичь некоторого прогресса в понимании того, что такое доказательство, в уточнении этого понятия.

Выделим в обучении доказательству два основных уровня. На первом уровне (IV-VII классы) используемые в доказательствах (неявно) логические средства вывода не выявляются, не разъясняются, основное внимание уделяется выяснению того, "что доказывается" и "из чего это следует", но не "как это следует". На этом уровне доказательство рассматривается вообще как рассуждение, с помощью которого истинность одного (доказываемого) предложения устанавливается на основе истинности других предложений.

На втором уровне (в старших классах, на факультативных занятиях или в школах с углубленным изучением математики) учащимся могут быть разъяснены простейшие правила вывода и на этой основе уточнено понятие доказательства. Это уточнение достигается с помощью представления доказательства в определенной, стандартной форме, поддающейся точному описанию. На этом уровне учащимся становится доступным анализ доказательства, выявление его логической структуры, используемых в нем правил вывода, запись содержательного доказательства в полной логической форме, т. е. его формализация.

Разумеется, в практике обучения всегда применялись и будут применяться содержательные доказательства, представленные в виде обычных рассуждений и уровень строгости которых адекватен возможностям учащихся. Этот уровень должен естественным образом повышаться от класса к следующему в соответствии с развитием этих возможностей (а не наоборот, как это наблюдается в некоторых учебных пособиях, в которых уровень строгости доказательств в VI классе выше, чем в IX).

В практике обучения учитель, как правило, сам доказывает в классе каждую подлежащую изучению теорему (а то и дважды или даже трижды повторяет ее). Такой метод ориентирован главным образом на запоминание учащимися доказательств определенных теорем, и вряд ли можно таким методом научить учащихся доказывать. Сочетая же этот метод с методом обучения поиску доказательства, мы научим их доказывать. Сам же поиск доказательства, как и всякий поиск, требует творческого мышления и развивает его. Поэтому метод обучения поиску доказательства усиливает влияние обучения на умственное развитие учащихся, на развитие их творческого мышления.

2) В процессе обучения (опытным путем или с помощью эвристических методов) открываем, что при условии А имеет место некоторое свойство В. В таком случае предстоит доказать теорему, имеющую вид импликации А В, где А - условие, а В - заключение теоремы.

После доказательства теоремы А В изученный фрагмент теории, например геометрии, расширяется, включая и это предложение, которое в дальнейшем уже может использоваться в качестве одной из посылок при доказательстве других, новых теорем.

Однако расширено фрагмента теории только одним предложением, характерное для установившейся методики обучения, не является наиболее рациональным способом продвижения в теорию, расширения знаний применением дедукции в качестве метода обучения. Во-первых, этот способ не отражает специфики метода дедукции в самой математике. При описании реальных ситуаций, как правило, получают не одно предложение, а совокупность предложений, которая впоследствии исследуется с целью логического упорядочения, превращения в "маленькую" теорию, присоединяемую к уже изученному (построенному) фрагменту "большой" теории. Во-вторых, обычное использование дедукции в обучении нерационально, малоэффективно и с дидактической точки зрения. Выдвигаемый в методической литературе тезис обучения "укрупненными блоками" применительно к дедуктивно построенному фрагменту учебного материала по существу означает продвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями, описывающими определенные ситуации, фигуры и т. п.