Электрические цепи с бинарными потенциалами

Логические элементы, используемые в вычислительной технике, являются нелинейными и активными. В статье рассматриваются схемы, которые не содержат транзисторов, а содержат только линейные элементы и диоды. Эти схемы подобны в определенном смысле логическим элементам AND, OR, NOT. Подобие заключается в том, что существуют такие потенциалы на входах и выходах этих схем, которые удовлетворяют функциям AND, OR, NOT алгебры логики. Кроме того, потенциалы и токи в указанных схемах удовлетворяют законам Кирхгофа. Поэтому они в общем случае могут и не удовлетворять функциям алгебры логики. В этом заключается различие между логическими элементами и указанными схемами, которые далее называются аналоговыми логическими элементами AND, OR, NOT или, сокращенно, элементами AnAND, AnOR, AnNOT.

Рассматривается определенная электрическая цепь, составленная из элементов AnAND, AnOR, AnNOT. Эта цепь далее называется аналого-дискретной схемой АД. Схема АД при определенных условиях ведет себя подобно обычным цифровым схемам. Принципиальное отличие заключается в следующем.

Схема АД имеет две группы выводов, х и у. Они могут использоваться либо как входы, либо как выходы схемы АД. Показывается, что при одном способе включения схема АД выполняет преобразование (назовем его прямым) входа х в выход у в соответствии с некоторой системой уравнений алгебры логики v вычисляет ДНФ. При другом способе включения схема АД выполняет преобразование входа у в выход х, обратное прямому, т.е. решает задачу, обратную вычислению ДНФ.

Отмечается аналогия между схемой АД и обычным преобразователем, реализующим некоторую ДНФ. При замене в схеме АД элементов AnAND, AnOR, AnNOT элементами AND, OR, NOT и исключении некоторых дополнительных элементов она превращается в указанный преобразователь. Отличие заключается в том, что преобразователь вычисляет ДНФ, а схема АД вычисляет как ДНФ, так и обратную ДНФ.

Известно, что электрическая цепь, содержащая линейные элементы и диоды, минимизирует некоторую функцию токов этой цепи при ограничениях, каковыми являются первый закон Кирхгофа и конструктивные уравнения элементов этой цепи. Минимизируемая функция является положительно полуопределенной квадратичной формой, а ограничения линейны. В связи с этим можно говорить, что электрическая цепь решает задачу квадратичного программирования. Математически этот факт является следствием второго закона Кирхгофа и перечисленных ограничений (можно утверждать и обратное). Предлагаемые схемы относятся к этому же типу электрических цепей и потому они также решают некоторую задачу квадратичного программирования, что происходит одновременно с тем дискретным вычислением, для которого спроектирована схема. Представляется, что этот факт может быть использован для конструирования дискретных схем, решающих задачу математического программирования на аппаратном уровне.

2. Аналоговые логические элементы

Описываемые ниже электрические цепи содержат источники напряжения, резисторы, диоды и трансформаторы постоянного тока. Все эти элементы рассмотрены Деннисом (1) в аналогичном контексте и мы будем пользоваться его формулировками при описании характеристик этих элементов.

Перечисленные элементы используются далее в определенных комбинациях, которые мы будем называть аналоговыми логическими элементами AND, OR, NOT или, сокращенно, элементами AnAND, AnOR, AnNOT. Используемые в них диоды удовлетворяют условиям

,       (1)

,       (2)

,       (3)

где

- токи, протекающие через диоды,

- напряжения на диодах.

Схема AnAND изображена на фиг. 2.1, где, y v потенциалы. В этой схеме

,      (4)

.      (5)

Схема AnOR изображена на фиг. 2.2. где , v v потенциалы. В этой схеме

  (6)

   (7)

Схемы AnAND и AnOR очевидны. Новой является схема AnNOT. Она изображена на фиг. 2.3, где

- потенциалы,

  u - э.д.с. источника постоянного тока,

- токи.

Для этой схемы справедливы следующие соотношения:

,       (8)

.       (9)

Рассмотрим реализацию элемента AnNOT. Но перед этим опишем так называемые трансформаторы постоянного тока (1), которые мы далее будем называть трансформаторами Денниса v ТД. На фиг. 2.4 ТД изображен условно. Он содержит две ветви v первичную с током  и напряжением  и вторичную с током  и напряжением. ТД описываются уравнениями

         (10)

         (11)

где h v коэффициент трансформации. Из этих уравнений следует, что

          (12)

т.е. мощности, отдаваемые первичной и вторичной ветвями ТД в электрическую цепь, в сумме равны нулю. Деннис предложил ТД в виде умозрительной конструкции для интерпретации математической теории. Однако можно предложить и реальные схемы ТД на оптронах (2) или на интеграторах (3).

Схема AnNOT на ТД с единичным коэффициентом трансформации представлена на фиг. 2.5. Можно предложить и другие схемы AnNOT на интеграторах (4, 5).

3. Электрическая цепь с ТД

Рассмотрим электрическую цепь, которая содержит ТД с единичным коэффициентом трансформации, диоды, резисторы и источники напряжения. Деннис (1) показал, что в такой электрической цепи минимизируется функция

.      (1)

при ограничениях

,          (2)

         (3)

          (4)

где

I - вектор токов в ветвях цепи;

 - вектор токов в первичных ветвях ТД (часть вектора I);

- вектор токов во вторичных ветвях ТД (часть вектора I);

- вектор токов в диодах (часть вектора I);

E - вектор напряжений в ветвях цепи;

N - матрица инциденций с элементами 1,0,-1;

R - диагональная матрица сопротивлений в ветвях цепи.

В этой системе уравнение (2) описывает первый закон Кирхгофа, уравнение (3) идентично уравнению (2.10), а уравнение (4) идентично уравнению (2.4). Функция (1) имеет глобальный минимум. Необходимые условия минимума этой функции имеют вид уравнений

,       (5)

    (6)

    (7)

.         (8)

где

- вектор узловых потенциалов;

- вектор напряжений на первичных ветвях ТД;

- вектор напряжений на вторичных ветвях ТД;

- вектор напряжений на диодах.

В этой системе уравнение (5) описывает второй закон Кирхгофа, уравнение (6) идентично уравнению (2.11), а уравнения (7) и (8) идентичны уравнениям (2.1) и (2.3) соответственно. Новые переменные являются неопределенными множителями Лагранжа для условий (2), (3), (4). Итак, расчет рассматриваемой электрической цепи эквивалентен поиску минимума функции (1) при ограничении (2-4). Другими словами эта электрическая цепь моделирует задачу квадратичного программирования. У этой задачи имеются единственное решение.

4. Электрическая цепь с аналоговыми логическими элементами - схема АД

Рассмотрим теперь электрическую цепь, построенную из элементов ТД с единичным коэффициентом трансформации, AnAND, AnOR, AnNOT, резисторов и источников напряжения. Имея в виду, что элементы AnAND, AnOR, AnNOT, в свою очередь, содержат ТД с единичным коэффициентом трансформации, диоды, резисторы и источники напряжения, замечаем, что эта электрическая цепь содержит только ТД с единичным коэффициентом. Таким образом, эта цепь является частным случаем рассмотренной выше. В дальнейшем дальнейшем будет именовать схемой АД. Она изображена на фиг 3.1, где

 R - сопротивления,

 x, , y, z, v v точки схемы и их потенциалы.

Точки x и y составляют два множества выводов схемы АД. Между точками z и v в схеме АД включена матрица трансформаторов ТД, изображенная на фиг 3.2. Из и этой схемы следует, что

,       (1)

,       (2)

где  - векторы токов.

В схеме АД каждый элемент AnAND-m соединен своими входами с одним из выходов некоторого подмножества элементов AnNOT-k, а каждый элемент AnOR-j соединен своими входами с выходами некоторого подмножества элементов AnAND-m. Обозначим:

- матрица связей элементов AnAND-m и AnNOT-k,

- матрица связей элементов AnAND-m и AnOR-j,

причем