Обратная матрица

Матрица A^-1 - обратная для матрицы A, если

AA^-1=A^-1A=I

Для квадратной матрицы A обратная существует

тогда и только тогда, когда detA¹0.

где A_ij - алгебраические дополнения элэментов a_ij

матрицы A.      Свойства:  (A^-1)^-1=A,

(AB)^-1=B^-1A^-1, detA^-1=1/detA

В частности:

Решение квадратной системы:

Ax=b

если |A|¹0, то x=A^-1b

Матричные уравнения.

XA=B Þ X=BA^-1

AX=B Þ X=A^-1B

Некоторые св-ва определителей:

1.* Величина определителя не изменится, если каждую

строку заменить столбцом с тем же номером.

2. Если матрица B получена из матрицы A

перестановкой двух каких-либо ее строк

(столбцов*), то detB=¾detA.

3. Общий множитель всех элементов произвольной

строки (столбца*) определителя можно вынести за

знак определителя.

4.* Определитель, содержащий две пропор-

циональные строки (столбца), равен нулю.

5. Определитель не меняется от прибавления к

какой-либо его строке (столбцу*) другой его строки

(столбца), умноженной на произвольное число.

6.* Если какая-либо строка (столбец) определителя

есть линейная комбинация других его строк

(столбцов), то определитель равен 0.

7. Если матрица имеет треугольный вид, то ее

определитель равен произведению элементов на

главной диагонали.

*-неизученные свойства.

Фундаментальная система решений.

Фундаментальной системой решений называется

система из (n-r) линейно независимых решений, где

n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы:

ФСР: l₁,l₂,...,l_n-r

ФСР может быть бесконечное множество.

Если l₁,l₂,...,l_n-r-ФСР однородной системы, то

x_оо = с₁l₁+с₂l₂+...+с_n-r l_n-r

x_он = x_оо + x_чн

Метод Крамера:

Если D=0 и не все Dx_j=0, то система несовместна.

Если D¹0, то система имеет единственное решение,

где Dx_j - определитель, полученный заменой j-го

столбца в определителе системы столбцом

свободных членов.