Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Курсовая работа по дисциплине "Специальные разделы математики"

Выполнил студент Новичков А. А., группа: 450

Севмашвтуз - Филиал СПбГМТУ

Кафедра №2

Введение.

Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений.

Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.

Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова.

1. Свойства систем дифференциальных уравнений.

1.1. Основные определения.

Пусть — непрерывные в области G (n+1)-мерного пространства скалярные функции.

Определение. Совокупность уравнений

(1)

называется нормальной системой n дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить

Определение. Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность n функций , непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех :

;

Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы, определенное в окрестности точки , которое удовлетворяет начальным условиям …, , где — заданная точка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем в окрестности точки .

Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория.

Определение. Если — решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x, ), , (n+1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (), , n-мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется n+1 координатой. В частности траектория может совпадать с точкой (положение равновесия).

Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид:

,

или в матричной форме (1')

где , .

Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция (t), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: . С помощью фундаментальной матрицы (t) общее решение системы можно записать в виде . Фундаментальная матрица, обладающая свойством , называется нормированной при . Если — нормированная при фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде , где — начальное при значение решения.

1.2. Траектории автономных систем.

Будем рассматривать автономную систему в векторной форме: (2)

где функция f(x) определена в .

Автономные системы обладают тем свойством, что если — решение уравнения (2), то , , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение можно записать в виде . В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой , поэтому можно везде считать .

Пусть — положение равновесия, т. е. . Для того чтобы точка была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы . Предположим теперь, что траектория решения не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют , такие, что . Так как — не положение равновесия, то . Поэтому можно считать, что при . Обозначим и покажем, что — -периодическая функция.

Действительно, функция является решением уравнения (2) при , причем . В силу единственности и совпадают при всех . Применяя аналогичное рассуждение к решению , получим, что определено при и функции и совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить на все , при этом должно выполняться тождество

,

то есть — периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:

положение равновесия;

замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;

траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.

1.3. Предельные множества траекторий.

Определение. Точка называется -предельной точкой траектории , , если существует последовательность такая, что при . Множество  всех -предельных точек траектории называется ее -предельным множеством. Аналогично для траектории при определяется понятие -предельной точки как предела , а также -предельного множества.

Определение. Траектория называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн. ()), если существует компакт такой, что при всех (), при которых определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства.

Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно.

Траектория называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является -предельной и -предельной, т. е. . Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах.

Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае n = 2.

1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий.

2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.

3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при к некоторому циклу.

4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от , спиралевидно приближаются к  при или при .

Пример. Рассмотрим автономную систему при :

Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения :

откуда получаем .

Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения и . При решения монотонно убывают от до 0, а при решения монотонно возрастают от до бесконечности. Так как , то отсюда следует, что при и все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, у которых . Если , то -предельное множество траектории пусто. Окружность является замкнутой траекторией и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия.

1.4. Траектории линейных систем на плоскости.

Рассмотрим автономную линейную однородную систему (3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду ,

где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:

1) вещественны, различны и . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими или . При и

.

Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.

2) вещественны и . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.

3) комплексно-сопряженные. Пусть . В преобразовании X = SY , где и — линейно независимые собственные векторы, соответствующие и . Так как А вещественна, и можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и . Положим , , а в качестве фазовой плоскости возьмем . Переменная связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где , . Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярные координаты , или , . Имеем: . Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

.

Следовательно, . При траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2/.

4) . Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

Решением этой системы будет функция . В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы

Рис. 1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.

Будем рассматривать систему вида (4)

где , а матричная функция P(t) удовлетворяет условию P(t + ) = P(t), >0 при всех . Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом  или -периодическими.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид

где G — -периодическая матрица, R — постоянная матрица.

Матрица В, определяемая равенством , называется матрицей монодромии. Для нее справедливо . Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можно показать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при фундаментальной матрицей , то есть .

Собственные числа матрицы монодромии называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа матрицы R — характеристическими показателями. Из определения R имеем , при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.

Характеристические показатели определены с точностью до . Из и формулы Лиувилля следует, что .

Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:

Теорема. Число  является мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение этого уравнения такое, что при всех t .

Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода  тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.

Следствие 2. Мультипликатору соответствует так называемое антипериодическое решение периода , т. е. . Отсюда имеем:

Таким образом, есть периодическое решение с периодом . Аналогично, если (p и q — целые, ), то периодическая система имеет периодическое решение с периодом .

Пусть , где — матрица из теоремы Флоке, — ее жорданова форма. По теореме Флоке , или , (5)

где — фундаментальная матрица, — -периодическая матрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическими коэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что и собственные числа матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейной системы с постоянными коэффициентами.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

, (6)

где — -периодическая вещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называть мультипликаторы соответствующей линейной системы, т. е. системы

с матрицей . Так как , то . Мультипликаторы являются собственными числами матрицы

,

где — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям , а — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям . Пусть — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как , то оно принимает вид , где .

2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений.

2.1. Устойчивость по Ляпунову.

Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте из начальной точки порождает траекторию . Рассмотрим другую траекторию той же системы , стартовая точка которой близка к . Если обе траектории остаются близкими в любой последующий момент времени, то траектория называется устойчивой по Ляпунову.

Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории, то всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.

Рис. 2. Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в -окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)

Рассмотрим уравнение (1)

где и функция f удовлетворяет в G условию Липшица локально:

и , где — константа, не зависящая от выбора точек и .

Предположим, что уравнение (1) имеет решение , определенное при , и что . Чтобы перейти к исследованию нулевого решения, выполним в (1) замену . В результате получим уравнение

, (2)

где определена в области, содержащей множество . Это уравнение называется уравнением в отклонениях. Пусть — решение (2) с начальными данными .

Определение. Решение уравнения (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для , такое, что при .

Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое, что при .

Неустойчивость решения означает следующее: существуют положительное , последовательность начальных точек при , и последовательность моментов времени такие, что .

При исследовании вопроса об устойчивости решений часто прибегают к заменам переменных, позволяющим упростить вид рассматриваемого уравнения. Сделаем в (2) замену , где функция определена при всех и непрерывна по z при равномерно относительно , причем . Пусть уравнение однозначно разрешимо относительно z: , где определена на множестве и непрерывна по y при равномерно относительно . Пусть уравнение (2) заменой можно преобразовать в уравнение .

Лемма. При сделанных предположениях нулевое решение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когда соответственно устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение уравнения .

Пусть уравнение (2) автономно, а его нулевое решение асимптотически устойчиво. Множество называется областью притяжения решения .

2.2. Устойчивость линейных однородных систем.

Пусть (3)

— вещественная система, — ее произвольное решение. Замена приводит (3) к виду , т. е. произвольное решение уравнения (3) переводится в тривиальное решение того же уравнения. Следовательно, все решения уравнения (3) устойчивы по Ляпунову, асимптотически устойчивы или неустойчивы одновременно. Поэтому можно говорить об устойчивости уравнения (3), понимая под этим устойчивость всех его решений, в частности тривиального.

Лемма 1. Пусть и или , где — неособая при всех матрица, ограниченная по норме вместе с обратной . Тогда ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме при тогда и только тогда, когда обладает таким свойством.

Лемма вытекает из оценки .

Следствие. Пусть , — нормированная при фундаментальная матрица уравнения (3). Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме вместе с .

Теорема 1. 1) Для того чтобы уравнение (3) было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были ограничены при . 2) Для того чтобы уравнение (3) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были бесконечно малыми при .

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть ограничена на . Решение задается формулой . (*)

Так как , то . Следовательно, уравнение (3) устойчиво по Ляпунову, так как устойчиво его тривиальное решение. Действительно, если , то при всех . (**)

Необходимость. Пусть уравнение (3) устойчиво по Ляпунову. Тогда устойчиво его тривиальное решение, и выполняется (**). Пусть фиксировано. Положим . Если , то . Из (*) и (**) имеем , т. е. ограничена. Аналогично доказывается ограниченность , а вместе с ними и матрицы .

2) Достаточность. Пусть при . В силу (*) при всех , что и дает асимптотическую устойчивость.

Необходимость. Пусть для любых при . Положим . В силу (*) , следовательно, . Аналогично доказывается, что , , что означает при . Теорема доказана.

Применим теорему 1 к исследованию устойчивости уравнения (3) с постоянной матрицей коэффициентов P. Уравнение (3) в этом случае имеет фундаментальную матрицу , , где — жорданова форма матрицы P. По теореме 1, лемме 1 и следствию к ней устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3) эквивалентны соответственно ограниченности, бесконечной малости и неограниченности матрицы при . Отсюда получаем следующую теорему:

Теорема 2. Линейная однородная система с постоянным коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы коэффициентов нет таких, вещественные части которых положительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые, либо имеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов имеют отрицательные вещественные части.

Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.

Определение. Полином , где , , называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Если полином является полиномом Гурвица, то все .

Составим -матрицу Гурвица вида

Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица :

Если степень полинома сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова.

Определение. Пусть , где , , . Кривая , называется годографом Михайлова функции .

Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:

Лемма 2. Угол поворота в положительном направлении ненулевого вектора при равен , где — число корней полинома с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

Критерий Михайлова. Для того чтобы полином , не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора при был бы равен .

Замечание. Если полином есть полином Гурвица степени , то вектор монотонно поворачивается в положительном направлении на угол , то есть годограф Михайлова, выходя из точки положительной полуоси , последовательно пересекает полуоси , проходя квадрантов.

2.3. Устойчивость периодических решений.

Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. , (4)

где . По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу , где — неособая -периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, — жорданова матрица, собственные числа которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа , когда постоянна. Учитывая, что , где — мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения : , где . Поэтому можно сделать вывод, что при оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при уравнение неустойчиво, а при оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка.

Исследуем на устойчивость положения равновесия линейной од