Настоящая теория чисел

Работа, представленная вниманию читателя, за годы своих блужданий, вызвала немало разногласных откликов. Кто-то говорил, что это "детский сад", кто-то, что "она зацепила бульдозером фундамент науки", но теперь уже, по прошествии шести лет (основные идеи были сформулиорованны уже тогда) авторы уверены в том, что она имеет свою и немалую ценность.

Представьте себе, что вы сидите перед экраном телевизора и получаете сигнал, составленный из картинок и звуков, которые можно представить в виде символов-чисел 5, 33 и 108, соответствующих, например, частоте электромагнитных колебаний. Тогда вся совокупность чисел составит их сумму 146. Эта сумма представляет собой систему, которую мы воспринимаем в целом. Проблема в том, что истинное, внутреннее значение этой системы будет равно 2 (см. работу). Если это так, а для десятиричной системы счисления это именно так, то мы имеем дело с возможностью моделирования и прогнозирования поведения систем любой сложности, состоящих из любого количества разнообразных элементов, поскольку можем представить их в виде чисел, их совокупности и отношений в упрощенном виде.

Это становится возможным благодаря тому факту, что каждая последняя цифра в натуральном ряду чисел является эманацией (см. работу) не-числа 0. По этой причине весь числовой ряд данной системы счисления начинает развиваться, исходя из этой повторяемости. Например, эманациями 0 в десятеричной системе счисления будут числа 9, 18, 27, 36 и т.д А значит, мы можем утверждать, что известный нам числовой ряд не только бесконечен, возрастая на единицу, но и цикличен, повторяя в эманациях натуральных корней (см. работу) основные качества натуральных чисел.

Очевидно, что применив тот же простой принцип, и остановившись в счислении на цифре 5 (т.е., учитывая 0, имеем шестиричную систему счисления), мы полагаем, что именно 5 является эманацией 0. Тогда и все операции в шестиричной системе счисления будут иметь соответствуюшие решения. Принцип эманаций является своеобразной точкой опоры в бесконечном числовом ряду, и помогает формировать любую систему счисления, легко производя в ней любые операции.

То, что отражено в настоящем труде всего лишь попытка взглянуть на числовой ряд не как на бесконечную бессмысленность, а как на некую закономерность, имеющую в своем основании числовые корни и законы их последовательного развития.

Раздел 1. Извлечение натурального корня из целого многозначного числа

Определение.

Извлечением натурального корня из целого многозначного числа abcd...n называется последовательное сложение цифр a,b,c,d,...n, составляющих число abcd...n или их комбинаций ( вне зависимости от местоположения в числе) до получения однозначного целого числа z, где z=(0,1,2,...,8).

Пример.

Извлечь натуральный корень из числа 1993.

Разделим данное число на любые составляющие его цифры или их комбинации. Например, на 199 и 3.

Сложим эти составляющие:

199 + 3 = 202.

Теперь необходимо сложить цифры, составляющие полученный ранее ответ:

2 + 0 + 2 = 4.

Цифра 4 и будет называться натуральным корнем числа 1993.

Рассмотрим другие варианты извлечения натурального корня из числа 1993.

1) 1 + 9 + 9 + 3 = 22, и далее 2 + 2 = 4;

2) 1 + 993 = 994, и далее 9 + 94 = 103,

и далее 1 + 0 + 3 = 4; и т.д.

Извлечение натурального корня не зависит от местоположения цифр в суммируемых комбинациях цифр, заданных в начальном числе. Покажем это эмпирически.

Пример.

Извлечь натуральный корень из числа 358.

Извлечем натуральный корень уже известным способом:

1) 3 + 5 + 8 = 16, и далее 1 + 6 = 7;

2) 35 + 8 = 43, и далее 4 + 3 = 7.

Теперь поменяем цифры местами в различных комбинациях:

1) 53 + 8 = 61, и далее 6 + 1 = 7;

2) 83 + 5 = 88, и далее 8 + 8 = 16,

и далее 1 + 6 =7;

3) 38 + 5 = 43, и далее 4 + 3 = 7; и т.д.

Для удобства операций и математических записей обозначим

натуральный корень знаком | ("Далет"). Тогда следующие математические выражения примут вид:

|1993 = 4 - извлечение натурального корня из числа 1993;

4|1993 - число 1993 имеет натуральный корень 4;

|х = n - извлечение натурального корня из числа х;

n| x - натуральным корнем числа х является число n, где n = (0,1,2,...,8).

Раздел 2. Эманации натуральных корней

2.1. Эманации

Определение.

Эманацией натурального корня n, где n = (0,1,2,...,8), называется любое многозначное число х, натуральный корень которого равен n.

Например, эманациями числа 8 будут числа 17, 26, 35,215, 584 и т.п.

Определение.

Эманационным рядом натурального корня n называется последовательно возрастающий числовой ряд эманаций натурального корня n.

Определение.

Номером эманации числа х называется некоторое целое число Nэ, показывающее количество содержащихся в числе х девяток.

Все эманации натурального корня n проявляют аналогичные свойства по натуральному корню в любых математических действиях. Например, если 5 + 3 = 8, то сложение любой эманации числа 5 и любой эманации числа 3 всегда дадут эманацию числа 8.

Так, если мы сложим числа 23 и 129, являющиеся, соответственно, эманациями натуральных корней 5 и 3, то мы получим 23 + 129 = 152, где 152 является эманацией натурального корня 8.

Также необходимо отметить существование троичных эманационных рядов, которые строятся по принципу прибавления к натуральному корню n числа 3. Таких рядов три: 1,4,7; 2,5,8; 3,6,9 и далее по порядку возрастания их эманаций. Такое построение возможно в силу сходства свойств членов вышеуказанных троиц. Например по количественному составу числа 3: все эманации чисел 1,4,7 имеют состав k3 + 1, эманации чисел 2,5,8 состав k3 + 2, эманации чисел 3,6,9 состав k3, где k - любое число. А это, безусловно, влияет на поведение чисел в действиях деления, умножения и пр. Сходство свойств членов троичных циклов станет более понятно при рассмотрении свойств циклов натуральных корней (см. далее по тексту).

2.2. Цикличные последовательности эманаций натурального корня n.

Построение таблиц эманаций натурального корня n возможно по различным принципам.

Например:

10 последовательно возрастающих эманаций натурального корня n составляют горизонтальный ряд таблицы. Исключением является первый эманационный ряд, в котором количество числа n равно n.

Например, 1-ый эманационный ряд числа 2 составят два числа: 11 и 20,

а 2-ой ряд - 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 101, 110;

и т.д.

10 последовательно возрастающих таких рядов составляют цикл. Исключением является первый цикл, в котором количество эманационных рядов равно n + 1.

Аналогичным образом, на основе циклов, можно сформировать периоды, эоны и еще более значительные цикличные последовательности эманаций. Таким образом, становится очевидным, что весь натуральный числовой ряд имеет собственные законы развития, а каждый натуральный корень продолжается в своих эманациях.

2.3. Свойства эманационных рядов и циклов.

1) Эманационные ряды и циклы образуются путем последовательного прибавления числа 9 к натуральному корню n;

2) k-ый эманационный ряд имеет обобщающее число z, образующееся сложением двух чисел p и m, где p - эманация числа n, взятая без последней цифры m; k-ый эманационный цикл имеет обобщающее число z, образующееся сложением двух чисел p и m, где p - эманация числа n, взятая без последней цифры m;

3) Столбцы эманаций натурального корня n, где n=(0,1,2,..,.8), имеют ряд следующих свойств:

- эманации при рассмотрении от первого к последнему столбцу имеют в окончании своего числа цифру, изменяющуюся последовательно на единицу от 9 до 0, причем в первом столбце эманации оканчиваются на цифру 9, а в последнем на 0;

- разница между ближайшими числами столбца равна 90;

- первая цифра в числе эманации при рассмотрении от одной к другой в столбце увеличиваются на 1, а следующая за ней уменьшается на 1.

Более удобным для применения, на наш взгляд, является следующий принцип построения таблиц эманаций натурального корня n. В вертикальных рядах таблицы объединены такие эманации натурального корня n, номера эманаций которых (см. далее) равны по натуральному корню.

Например. Эманации натурального корня 7 - числа 106 и 268 имеют номера эманаций 11 и 29 соответственно, натуральный корень 106 и 268 равен 2.

Правило 1. При сложении двух или нескольких чисел, натуральный корень суммы которых < 9, сумма номеров эманаций складываемых чисел будет равна номеру эманации полученной суммы. Если же натуральный корень суммы > или = 9, то номер эманации суммы будет на единицу больше суммы номеров эманаций складываемых чисел.

Это легко объяснимо, т.к. любое число мы можем представить в виде abcd...n = Nэ * (9 + n), где n - натуральный корень этого числа. Таким образом, при сложении чисел мы складываем отдельно количество 9-к и натуральные корни, и, если натуральные корни в сумме дадут число больше 9, мы вычленяем 9-ку и прибавляем ее к уже имеющимся.

Например.

Сложим числа 199 и 49:

199 + 49 = 248.

Nэ числа 199 равен 22, Nэ числа 49 равен 5, Nэ полученной суммы 248 равен 27, т.е. сумме 22 и 5, т.к. сумма натуральных корней меньше 9

1|199 + 4|49 = 5|248 .

Сложим числа 145 и 233:

145 + 233 = 378.

Nэ числа 145 равен 16, Nэ числа 233 равен 25, Nэ полученной суммы 378 равен 42, т.е. 16 + 25 +1, т.к. сумма натуральных корней равна 9

Теорема 1.

При делении любого целого многозначного числа abcd...k на число 9 полученный результат будет указывать:

а) в целой части - на номер эманации;

б) в дробной, всегда образующей период, на натуральный корень.

Доказательство.

При делении числа abcd...k на 9 мы всегда получаем число, имеющее целую часть и дробный период. Докажем, что полученный результат будет указывать:

а) в целой части - на номер эманации;

б) в дробной, всегда образующей период, на целый остаток за вычетом целого количества девяток.

В силу того, что 1/9=0,1(1), заменим деление числа abcd...n на 9 на умножение на 0,111(1).

Разложим число abcd...k как abcd...k = n9 + x Умножим обе части уравнения на 0,1(1) :

abcd...k * 0,1(1)= n9*0,1(1) + x0,1(1).

Зная, что 1/9=0,1(1), т.е. 9*0,1(1)=1, n9*0,1(1) будет равно n, т.е. n9*0,1(1)=n.

Поскольку х меньше 9, то x*0,1(1) меньше 1 и x*0,1(1)= х(х).

Тогда abcd...k * 0,1(1)= abcd...k /9= n9*0,1(1) + x0,1(1)=n + 0,х(х)= n,х(х).

Так как n обозначает количество девяток в числе abcd...k , т.е. является номером эманации числа, то остаток х является самим натуральным корнем и, соответственно, при делении любого целого многозначного числа

abcd...k на число 9 полученный результат n,х(х) в целой части n показывает номер эманации, а в дробной х(х) , всегда образующей период, на натуральный корень.

Пример 1.

Найти номер эманации и натуральный корень числа 2852. Разделим данное число на 9:

2852 : 9 = 316,8(8).

Исходя из вышеуказанной теоремы, предположим, что

|2852 = 8, а номер эманации равен 316.

Проверим полученный результат.

2852 = 28 + 52 = 80, => |2852 = 8

Правильность номера эманации можно проверить на основании таблиц Приложения 1.

Пример 2. Найти номер эманации и натуральный корень числа 23.

23 : 9 = 2,5(5) => |23 = 5, а номер эманации равен 2.

Пример 3. Найти номер эманации и натуральный корень числа 18.

Произведем аналогичные вышеизложенному операции.

18 : 9 = 2.

Из этого примера видно, что число 9 само является второй эманацией числа (не-числа) 0, ибо полученный ответ необходимо записать в следующей форме 18 : 9 = 2,0(0), откуда видно, что число 18 является второй эманацией нуля.

Проверим это утверждение на двух других примерах.

Разделим саму девятку на число 9:

9 : 9 = 1,0(0), т.е. число 9 является первой эманацией нуля.

15921 : 9 = 1769,0(0), т.е. число 15921 является 1769-й эманацией нуля.

Из нашего утверждения относительно числа 9 и всего вышесказанного можно сделать следующие выводы:

- весь числовой ряд разбит на циклы, состоящие из десяти чисел таких, как: от 0 до 9, от 9 до 18, от 18 до 27 и т.д., хотя основных натуральных корней всего 9, такая система применяется в силу того, что любая эманация нуля является как завершением предыдущего цикла, так и началом следующего;

- последовательное возрастание числового ряда на 1, начиная с любого многозначного числа, неуклонно "отслеживается" изменением натурального корня, являющегося проекцией бесконечного ряда чисел.

2.4. Принцип противоположности натуральных корней и их эманаций.

Определение.

Противоположными по натуральному корню числами являются такие числа, которые при сложении дают эманацию нуля.

Таким образом, в положительной числовой шкале противоположными будут числа ( и, соответственно, любые их эманации): 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5.

Так, если мы считаем противоположными числа -1 и 1, т.к. в сумме они дают нуль, то мы вправе считать противоположнымии числа 8 и 1, т.к. в сумме они дают число 9 - эманацию нуля.

Эманациями числа n могут являться и отрицательные числа, модуль натурального корня которых противоположен числу n, т.е. в сумме с ним дает 9. Введение отрицательной шкалы эманаций правомочно в силу принципа построения положительного эманационного ряда, основанного на отличии каждой следующей эманации числа n от предыдущей на 9. Например, отрицательными эманациями 8 будут числа -1,-10, -19 и т.п.

Отрицательные числа будут иметь, соответственно, и отрицательные натуральные корни.

Например.

|-125 = -8, |-13 = -4 и т.д.

2.5. Соответствие натуральных корней и их эманаций.

Определение.

Соответствующими эманациями натурального корня n являются все эманации этого корня в положительном ряду чисел, а также все отрицательные числовые значения, обнаруженные в отрицательном ряду чисел, отличающиеся от числа n на -k9. Отрицательный числовой ряд имеет также, как и положительный ряд девять натуральных корней от 0 до -9, которые соответствуют положительным натуральным корням, как это указано выше.

Например, натуральные корни 1 и -8, 2 и -7, 3 и -6, 4 и -5, 5 и -4, 6 и -3, 7 и -2, 8 и -1, а также их эманации будут соответствующими.

Для натурального корня 0 его противоположными и соответствующими числами одновременно будут являться только его собственные эманации, образуя симметрию числового ряда. Все действия с отрицательными натуральными корнями и их эманациями соответствуют всему, что излагается о взаимодействиях в положительной числовой шкале.

2.6. Теорема 2.

Любое многозначное целое число Х можно привести к виду неизменного натурального однозначного числа t, где t = (0,1,2,...,8), путем последовательного и поэтапного сложения цифр, составляющих число Х, и/или их комбинаций вне зависимости от мест первоначальных цифр в комбинации.

Фактически, нам необходимо доказать, что натуральное однозначное число t, полученное в результате сложения сумм и/или комбинаций, равно целому остатку х, полученному в результате вычитания из числа Х целого числа девяток n9, т.е. t = х.

Рассмотрим принципы появления значности чисел. Первое число

10...0 новой значности всегда строится по принципам:

1. Число 10...0 всегда равно некоторому целому количеству девяток плюс единица:

10...0 = z9 + 1, причем z всегда имеет значение члена ряда 1,11,111,1111 и т.д. в

зависимости от значности числа 10...0.

2. Запись числа 10...0 всегда производится как некоторое количество нулей и одна единица.

Используя принцип 2, можно утверждать, что сумма цифр первого числа новой значности 1+ 0+0+0+...+0 всегда будет равна n0 + 1, т.е. равна 1.

Таким образом, можно сделать вывод, что для первого числа новой значности сумма его цифр 1+ 0+0+0...+0 =1 всегда будет равна остатку 1

целого числа 10...0 за вычетом целого числа девяток 10...0 - z9 = 1.

Докажем, что сумма цифр любого другого числа abcd...k также равна остатку за вычетом целого числа девяток.

Так как число abcd...k мы можем разложить на на целое число десятков, сотен, тысяч и т.д. плюс остаток, то мы можем число abcd...k представить в виде:

abcd...k = а(w9+1) + b(q9+1) + c(v9+1) + d(j9+1)...+k = аw9+a + bq9+b + cv9+c + dj9+d...+k

Мы получили остатки a, b, c, d...k. Число abcd...k, как мы видим, составлено из этих же цифр. Таким

образом, сумма цифр a+b+c+d+...+k числа abcd...k также равна остатку х за вычетом целого числа девяток ______

abcd...k = n9 +x, где х= a+b+c+d+...+k, n9= аw9+bq9+cv9+dj9.

В том случае, если сумма цифр a+b+c+d+...+k больше девяти, то из полученного в результате сложения числа мы вычленим целое число девяток е и присоединим его к n9.

Таким образом, можно утверждать, что запись цифр числа abcd...k следует считать записью остатков от вычитания из десятков, сотен, тысяч и т.д. целого числа девяток. ______

При различных комбинациях цифр числа abcd...k и дальнейшем их сложении сумма цифр не изменится, так как сумма остатков не изменится от перестановки цифр - остатков, обозначающих число десятков, сотен и т.д.

Таким образом, любое многозначное целое число Х можно привести к виду неизменного натурального однозначного числа t, где t = (0,1,2,...,8), путем последовательного и поэтапного сложения цифр, составляющих число Х, и/или их комбинаций вне зависимости от мест первоначальных цифр в комбинации и число t будет равно сумме остатков от вычитания из десятков, сотен, тысяч и т.д. целого числа девяток или последнего однозначного числа в любой другой системе счисления.

Раздел 3. Действия с эманациями и натуральными корнями

k

Для удобства действий с эманациями присвоим этому действию знак Эn , означающий k-ую эманацию натурального корня n.

3.1. Сложение

Пример.

Для рассмотрения операции сложения, рассмотрим сумму двух чисел 245 и 28.

245 + 28 = 273.

Извлечем натуральные корни из слагаемых:

____ ____

|245 = 2 и |28 =1.

Сложим натуральные корни слагаемых:

2 + 1 = 3, и извлечем натуральный корень из полученной в начале решения суммы:

____

|273 = 3.

Во всех примерах данного раздела будем рассматривать операции с эманациями натурального корня 0, чтобы показать что при операциях с такими числами они "ведут себя" аналогично 0.

Пример.

Сложить числа 198 и 3594 и их натуральные корни.

______ ______ ______

0 |3594 + 3|3594 = 3 |3792

Как видно из примера, натуральный корень числа 198 не повлиял на результат сложения натуральных корней слагаемых, т.е. мы получили одно из свойств нуля для его эманаций.

3.2. Вычитание.

Рассмотрим три условия для выражения х - у = z.

__ __

1. Если х > у и |х > |у

Например, 294 - 112 = 182

____ ____ ____

|294 = 6, |112 = 4 Разница натуральных корней 6 - 4 = 2 и |182 = 2

__ __

Таким образом, при выполнении условияусловия |х > |у для выражения х - у= z верно утверждение, что разница натуральных корней вычитаемых чисел х и у равна натуральному корню из их разницы.

___ ____ _________

n|х - k |у = (n-k) |(x-y)

__ __

2. Если х > у ,а |х < |у

Например, 190 - 52 = 138

____ ___ ____

|190 = 1, |52 = 7 Разница натуральных корней 1 - 7 = -6, но натуральный корень разницы |138 = 3.

Для приведения этого неравенства к виду равенства достаточно заменить больший натуральный корень числа у на соответствующее ему в эманационном ряду числа у отрицательное значение.

Например, заменим натуральный корень 52, равный 7, на соответствующий корень, равный -2. Тогда разница натуральных корней для выражения 190 - 52 = 138 будет 1 - (-2) = 3.

Для удобства можно эту операцию производить только для натурального корня разницы. Например, замена

____

натурального корня разницы |138 = 3 на соответствующее значение натурального корня, равное -6, приведет нас к равенству 1 - 7 = -6.

__ __

Таким образом, при условии |х < |у для выражения х - у = z разница натуральных корней вычитаемых чисел х и у равна натуральному корню из их разницы при применении соответствующих отрицательных эманаций числа у или числа z.

__ __

3. Если х < у, а |х > |у

Например.

52 - 190 = -138

____ ____

|52 = 7, |190 = 1 Разница натуральных корней 7 - 1 = 6,

_____

но |-138 = -3. При применении принципа замены натурального корня на соответствующее ему противоположное значение равенство действительно. Так, при замене -3 на 6 уравнение верно.

Необходимо отметить свойство эманаций нуля в операции вычитания.

___

Если в выражении х - у = z |у = 0, то натуральный корень разницы z, будет равен натуральному корню числа х, т.е. не изменится, что указывает на проявление эманациями нуля в операции вычитания свойств нуля.

Например. Найдем разницу 155 - 72 = 83

____ ____ ____

2|155 - 0 |72 = 2 |83

__ __

4. Если х < у и |х < |у

Например.

____ ____ ____

5|77 - 8 |98 = -3 |-21

Таким образом, для данного условия верно утверждение, что разница натуральных корней вычитаемых чисел равна натуральному корню их разницы.

3.3.УМНОЖЕНИЕ.

Пример. Умножить чмсла 154 и 32 и их натуральные корни:

154 * 32 = 4928

_____ ___

|154 = 1 и |32 = 5;

Перемножим корни:

______ _____ ____ ______

5 * 1 = 5 и 5|4928 , т.е.1 |154 * 5 |32 = 5 |4928 .

Пример. Умножить числа 27 и 85 и их натуральные корни.

27 * 85 = 2295.

___

|85 = 4.

3

Число 270 является третьей эманацией 0, т.е. Э = 27.

_____

Но и число 2295 является эманацией 0, только 255-ой. => 27 * 85 = 0|2295.

Очевидно, что эманации нуля проявляют его свойства при их умножении на другие числа, т.е. в результате умножения дают нуль.

Свойство. Натуральный корень из произведения, одним из множителей которого является эманация нуля, всегда будет равен нулю.

р k n

Эо * Эm = Э о

Закон умножения натуральных корней. Натуральный корень произведения множителей равен произведению натуральных корней этих множителей.

___ ___ _______

n |х * k|у = n*k |x*у

3.4. Деление.

1. Деление эманаций натурального корня n на число у.

Чтобы выяснить, какие эманации натурального корня n делятся без остатка на число у, необходимо выяснить номер эманации числа, которое первым в эманационном ряду натурального корня n делится без остатка на число у.

Обозначим этот номер эманации через N.

Например, в эманационном ряду натурального корня n=2: 2,11,20,29, 38,47,56 на число у=19 первой делится эманация 38 с номером эманации N = 4.

На число у без остатка будут делиться эманации натурального корня n, номер эманации которых равен

Nэ = N + ау, где а - любое целое число, т.е. эманации вида Эх = 9(N + ау) + х.

Например. Выясним, какие эманации n=1 без остатка делятся на число 4. Номер эманации n=1, которая первой делится на число 4 без остатка N = 3, соответствующий числу 28. Таким образом на 4 без остатка будут делиться все эманации единицы вида:

Э1 = 9(3 + а4) + 1 = 28 + 36а.

Если а = 2, то Э = 9(3 + 2*4) + 1 = 100.

Число 100 действительно без остатка делится на 4, т.к. 100 : 4 = 25.

Для определения эманации числа х, которая первой делится на число у, введем равенство а = 0.

Правило 2. При делении последовательно-возрастающих эманаций натурального корня n на число у, получаемые в результате деления числа будут являться членами некоторого эманационного ряда числа z.

Таким образом, число а в указанной выше формуле показывает номер эманации частного.

Например. Выясним, какие эманации числа 7 будут делиться на число 13. Номер эманации первого деления

N = 5.

Тогда на число 13 без остатка будут делиться эманации числа 7 вида Э7 = 9(5 + а13) + 7.

При а = 0 Э7 = 9(5 + 0*13) + 7 = 52, 52 : 13 = 4,

при а = 1 Э7 = 9(5 + 1*13) + 7 = 169, 169 : 13 = 13,

при а =2 Э7 = 9(5 + 2*13) + 7 = 286, 286 : 13 = 22.

В результате такого деления мы получили эманационный ряд числа 4: числа 4, 13,22.

2. Деление эманаций натурального корня n на эманации натурального корня k.

Для того, чтобы выяснить, какие последовательно-возрастающие эманации натурального корня n делятся на последовательновозрастающие эманации натурального корня k без остатка, необходимо знать:

а) номер эманации натурального корня n, которая первой делится на натуральный корень k. Обозначим ее через P.

б) постоянную дельту d - разницу между каждым следующим и данным номером эманаций натурального корня n, делящихся на эманации натурального корня k.

Дельта d = n:k.

На последовательно-возрастающие эманации натурального корня k будут делиться последовательно- возрастающие эманации натурального корня n c номерами эманаций вида Nэ = P + dc,

где c - номер эманации натурального корня k, на которую делится данная эманация натурального корня вида

Эх = 9(P + dc) + х.

Например.

а) выясним, какие эманации натурального корня 1, будут делиться без остатка на эманации натурального корня 5.

Номер эманации первого деления P = 1, постоянная дельта d = 2. Таким образом на эманации числа 5 будут делиться эманации натурального корня 1 вида

Э1 = 9(1 + 2*с) + 1.

При а = 1, Э1 = 9(1 +2*1) + 1 = 28.

Данная эманация натурального корня 1 делится на первую эманацию натурального корня 5, т.е. на 14.

28 : 14 = 2.

б) выясним, какая эманация числа 5 делится на третью эманацию числа 4, т.е. на 31. Номер эманации первого деления P = 3, d = 8.

Э5 = 9(3 + 3*8) + 5 = 248, 248 : 31 = 8, т.е. на 4-ю эманацию натурального

корня 4 - число 31 делится число 248, являющееся эманацией натурального корня 5.

Правило 3. При вышеуказанном принципе деления частное остается постоянным.

Если мы знаем номер эманации натурального корня n - N, эманация которого первой делится на некоторую эманацию натурального корня k - Э и знаем постоянную дельту d, то номер эманации первого деления N1 эманации натурального корня n на другую эманацию натурального корня k - Э1 можно записать в виде:

N1 = N + d(r - b), где r - номер эманации натурального корня k - Э1;

b - номер эманации натурального корня k - Э.

Например. При делении эманаций натурального корня 8 на эманации натурального корня 5 постоянная дельта d = 7.

а) если мы хотим узнать номер эманации первого деления на число 23 эманаций натурального корня числа 8, составим следующую формулу:

Nэ = 3 + 7(2 - 0), где 3 - номер эманации первого деления эманаций натурального корня 8 на натуральный корень 5 без остатка, 2 - Nэ числа 23, 0 - Nэ натурального корня 5.

Таким образом Nэ = 3 + 7(2 - 0) = 17.

Тогда, эманация натурального корня 8 с Nэ = 17 равна 161 = 17*9 + 8

Т.е., число 161 первым в эманационном ряду натурального корня 8 будет делиться на число 23:

161 : 23 = 7

И далее, по формуле деления эманаций натурального корня n на число у, мы можем выяснить все эманации числа 8, делящиеся без остатка на число 23.

б) если нам известен номер эманации первого деления эманаций натурального корня 8 на число 23 - n = 17, и мы хотим узнать Nэ первого деления эманаций натурального корня 8 на число 41, также как и число 23 имеющее натуральный корень 5, то составим следующую формулу:

Nэ = 17 + 7(4 - 2), где 4 - Nэ числа 41, 2 - Nэ числа23.

Nэ = 17 + 7(4 - 2) = 31

Таким образом, эманация натурального корня 8 с Nэ = 31, т.е. число 287 первым будет делиться на число 41:

287 : 41 = 7

Правило 4. Эманации натуральных корней 1,4,7,2,5,8 никогда не делятся без остатка на эманации натуральных корней 3,6,9.

Правило 5. Эманации натуральных корней 3,6 никогда не делятся без остатка на эманации натурального корня 9.

Правило 6. Эманации натурального корня 9 делятся без остатка на эманации всех натуральных корней.

Естественно, что данные правила основываются также и на правилах общего деления на числа 3 и 9.

Таблица постоянных дельт и номеров эманаций первого деления приведена в Приложении 1, таблица N 3.

Раздел 4. Циклы натуральных корней

Основываясь на принципах взаимодействия чисел по натуральному корню, исследуем поведение чисел при их последовательном взаимодействии с другими числами и числовыми последовательностями, а также свойства самих числовых последовательностей по натуральному корню. Рассматриваемые ниже циклы натуральных корней неотрывны от самих числовых последовательностей и являются их следствием.

Определение. Циклом натуральных корней называется периодически повторяющаяся последовательность натуральных корней.

4.1. Циклы натуральных корней сложения

Определение. Циклом натуральных корней сложения называется периодически повторяющаяся последовательность натуральных корней, возникающая в результате извлечения натуральных корней из членов

некоторой числовой последовательности, отличающихся на переменную дельту d = а,b,с,....k, имеющей количество значений h и вычисляемую как положительная разница между соседними членами последовательности.

Правило 7.

Если натуральный корень суммы, полученной последовательным сложением дельт d между членами числового ряда, достигает по натуральному корню значения 9, то натуральный корень следующего числа в этом ряду будет равен натуральному корню, от которого произведен отсчет дельт.

Например

Числовой ряд - 12, 13, 16, 22, 45, 68, 106, 111. Значения дельт - 1, 3, 6, 23, 23, 38, 5.

Сумма дельт равна 99, натуральный корень суммы равен 9. Следовательно, натуральные корни первого и последнего членов ряда должны быть равны.

Действительно, натуральные корни чисел 12 и 111 одинаковы и равны натуральному корню 3.

В этом же ряду мы обнаружим еще одну сумму дельт, натуральный корень которой равен 9, если начнем отсчет от числа 16 с натуральным корнем 7.

Значения дельт в этом случае - 6, 23, 23, 38, 5.

Натуральные корни дельт - 6, 5, 5, 2, 5.

Сложение натуральных корней: 6 + 5 = 11, 11 + 5 = 16, 16 + 2 = 18 ... Натуральный корень числа 18 равен 9. Это означает, что следующее в указанном ряду число будет иметь натуральный корень, равный 7. Действительно, число 106 имеет указанный натуральный корень.

______

Для удобства обозначим натуральные циклы через "Z ( | х + d)", где х - некоторый член цикла, d - дельта цикла, Z символ цикла натуральных корней.

Первым членом цикла q называется натуральный корень числа, получаемого в результате сложения (умножения, см.далее) последнего числа последовательности и дельты d(s). Данный принцип указывает на основное свойство циклов натуральных корней, а именно, первый член цикла натуральных корней всегда является результатом взаимодействия последнего члена цикла с дельтой (или ее членом) цикла.

_____

Основной цикл натуральных корней сложения Z ( |x + d) представляет из cебя объединение циклов натуральных корней сложения количеством h для первых h чисел основного цикла, каждый член которого расположен в основном цикле через h знаков и с дельтой цикла D, равной натуральному корню

суммы членов переменной дельты d основного цикла.

Например. Извлечем натуральные корни из числовой последовательности с первым членом х = 1 и переменной дельтой d = 1; 2, т.е. из числовой последовательности 1,2,4,5,7,8,10,11,13,14... Она примет вид 1,2,4,5,7,8,1,2,4... т.е.

_______

Z( |х + 1;2 ).

Натуральный корень суммы переменной дельты D = 1 + 2 = 3, количество значений переменной дельты h = 2.

Таким образом, полученный цикл 1,2,4,5,7,8 является совмещением 2-х циклов первых 2-х чисел, т.е. чисел 1 и 2, с дельтой цикла D = 1 + 2 = 3 и расположенными через 2 знака в основном цикле. Т.е. два цикла:

_____ _____

1,4,7 - Z( |7 + 3 ) и 2,5,8 - Z( |8 + 3).

Получив цикл 1,2,4,5,7,8 мы вправе поставить на место х число 8, дающее в сумме с членом дельты d1 = 2 первый член цикла - число 1.

Обратим внимание на то, что в полученной числовой последовательности сумма членов дельты составила число 9 к моменту появления числа 10, натуральный корень которого равен 1, при d = 1;2.

Частным случаем циклов натуральных корней сложения с переменной дельтой являются циклы натуральных корней сложения с постоянной дельтой. Для данных циклов, впрочем как для любых циклов натуральных корней действителен принцип объединения подциклов в основном цикле.

Рассмотрим отдельно циклы натуральных корней сложения с постоянной дельтой.

Например. Извлечем натуральные корни из членов арифметической прогрессии с d = 1 и первым членом у = 1: при извлечении натуральных корней прогрессия 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14...n примет вид

______

1,2,3,4,5,6,7,8,9, т.е. Z( |0 + 1 ).

Если мы извлечем натуральные корни из арифметической прогрессии с d=1, но первым членом 2, то мы получим тот же цикл натуральных корней, но начинающийся с другого члена х = 2,

______

т.е. Z( |1 + 1 ).

Такое вращение цикла не меняет принципа последовательности натуральных корней, поэтому является нецелесообразным рассматривать их как различные циклы, однако при рассмотрении свойств циклов при их взаимодействии (см. далее) различие первого члена будет влиять на результаты взаимодействия.

Естественно, что цикл натуральных корней не изменится, если d будет не единица, а одна из ее эманаций, или первый член будет не единица, а одна из ее эманаций.

Например. Извлечем натуральные корни из членов арифметической прогрессии с d = 19, а первым членом, равным 28. Такая арифметическая прогрессия 28,47,66,85,104,123,142,161 х при извлечении из ее членов натуральных корней также примет вид цикла 1,2,3,4,5,6,7,8,0.

Циклов натуральных корней сложения для арифметических

прогрессий с постоянной дельтой d всего 21:

1) при d = 1: 1,2,3,4,5,6,7,8,0

2) при d = 2: 2,4,6,8,1,3,5,7,0

3) при d = 3 - три цикла: 1,4,7; 2,5,8; 3,6,0

4) при d = 4: 4,8,3,7,2,6,1,5,0

5) при d = 5: 5,1,6,2,7,3,8,4,0

6) при d = 6 - три цикла: 1,7,4; 2,8,5; 3,0,6

7) при d = 7: 7,5,3,1,8,6,4,2,0

8) при d = 8: 8,7,6,5,4,3,2,1,0

9) при d = 9 - девять циклов с количеством членов от 1 до бесконечнос-ти: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 0.

Принцип эманационных рядов является частным случаем натуральных циклов сложения при d = 9, а Правило 7 в достаточной мере объясняет принцип появления самих эманаций чисел.

Циклов же натуральных корней сложения для арифметических прогрессий с переменной дельтой существует бесконечное множество.

Определение. Противоположными циклами будут являться циклы, в которых члены, имеющие одинаковый порядковый номер места в цикле, являются противоположными числами.

_____ _____

Например. Цикл Z ( |0 + 1) будет противоположным циклу Z ( |0 + 8).

При постоянной дельте противоположность циклов определяется как противоположность дельт.

4.2. Циклы натуральных корней умножения

Определение. Циклом натуральных корней умножения называется периодически повторяющаяся последовательность натуральных корней, возникающая в результате извлечения натуральных корней из членов числовой последовательности, отличающихся на переменную дельту s = а,b,с...k количеством знаков m, вычисляемую, как целое частное между соседними членами ряда. Обозначим циклы натуральных корней умножения через

_____

Z( |х * s), где х - некоторый член цикла, s - дельта цикла. Получаемый цикл является синтезом циклов натуральных корней умножения количеством h и дельтой цикла S = а*b*с ...*k, расположенных в основном цикле через h знаков.

Например. Извлечем натуральные корни из числовой последовательности с первым членом х = 1 и дельтой

s = 2;4.

Прогрессия 1, 2, 8,16,64,128, 512, 1024, 4096, 8192, 32768 примет вид 1,2,8,7

_____ _____

т.е. синтез двух циклов: 1,8 - Z ( |8 * 8) и 2,7 - Z( |7 * 8), расположенных в основном цикле через 2 знака, а 8 = 2 * 4, т.е. произведение членов дельты s.

Исключение. Если один из членов переменной дельты s или первый член являются эманацией чисел 3,6,0, то получаемый числовой ряд становится периодичным только после некоторого члена ряда.

Циклы натуральных корней умножения с постоянной дельтой являются частным случаем циклов натуральных корней умножения с переменной дельтой. Количество таких циклов ограничено.

Покажем пример такого цикла.

Извлечем натуральные корни из геометрической прогрессии с первым членом х = 5, дельтой s = 2.

5,10,20,40,80,160,320,640,1280 и т.д. примет вид 5, 1 ,2 ,4 ,8 ,7.

_____

Обозначим цикл натуральных корней умножения как Z ( |7 * 2). Несколько циклов натуральных корней применяются и как циклы натуральных корней сложения, и как циклы натуральных корней умножения. Например, такие циклы, как 1,4,7 или 2,8,5. Для циклов натуральных корней умножения верно Правило 7, также как оно верно для любого цикла натуральных корней, если мы рассматриваем его как цикл натуральных корней сложения.

Если же рассматривать правила циклов натуральных корней умножения, то мы найдем, что при получении путем последовательного умножения членов переменной дельты друг на друга числа, натуральный корень которого равен m, в самой числовой последовательности мы получим число хm, натуральный корень которого равен натуральному корню числа х, от которого начинался отсчет. Таблица циклов натуральных корней умножения приведена в Приложении 1, таблица N 4.

4.3. Циклы дельт циклов натуральных корней

Для любого цикла натуральных корней можно найти цикличную последовательность натуральных корней дельт путем извлечения натурального корня из разницы между членами цикла по порядку n2-n1,n3-n2,n4-n3 и т.д. вплоть до разницы между последним и первым членами цикла.

Правило 8. Натуральный корень суммы членов цикла дельт любого цикла натуральных корней будет равен 9.

Например. Циклом дельт по сложению для цикла 1,8,1,1,8,1,1,8,1 будет цикл дельт 7,2,0, натуральный корень суммы членов которого равен 9.

Для любого цикла натуральных корней количеством членов n можно найти цикличную последовательность натуральных корней дельт количеством n-1, получаемую в результате сложения членов цикла по порядку n1+n2, n2 +n3, n3+n4 и т.д. без сложения последнего члена ряда с первым. Из данной последовательности нату