Теория измерений:типы шкал

В процессе измерения участвуют два объекта: измерительный прибор и измеряемый объект. В результате прибор приходит в некоторое состояние, которое в зависимости от вида прибора и измерительной процедуры фиксируется тем или иным способом: положением стрелки на физической приборной шкале, цветом лакмусной бумажки, цифрами на электронном табло, положительным или отрицательным ответом на вопрос социолога и т.д. Затем это состояние прибора отображается в протоколе в виде тех или иных символов - цифр, букв, слов и т.д.

Теория измерений оперирует понятием "эмпирическая система с отношениями" (Е), которая включает в себя множество измеряемых объектов (А) и набор интересующих исследователя отношений между этими объектами (R): E = { A, R }. Например, множество А это множество физических тел, а набор R - отношения между ними по весу, твердости, размерам и т.п. Для записи результатов наблюдений используется "символьная система с отношениями" (N), состоящая из множества символов (М), например, множества всех действительных чисел, и конечного набора отношений (Р) на этих символах : N = { M, P}. Отношения Р выбираются так, чтобы ими было удобно отображать наблюдаемые эмпирические отношения R. Если тело t тяжелее тела q, т.е. если имеет место отношение R(t>q), то цифровая запись веса тел t=5 и q=3 позволяет наглядно увидеть это эмпирическое событие в записи P(5>3). Договоренность использовать именно такое отображение системы E на систему N означает выбор некоторого определенного правила отображения g. Тройка элементов < E, N, g > называется "шкалой" (не следует путать с физической приборной шкалой).

Но мы можем договориться и о некотором другом способе отображения w и тогда будем иметь дело с другой шкалой . Например, g рекомендует записывать вес тел в кг., а w - в граммах или тоннах. Цифровая запись в протоколах будет при этом разная, но эмпирическое содержание протоколов будет одинаковым. Это означает, что мы выбрали не любые способы отображений (g, w и т.д.), а только те, которые связаны между собой взаимно однозначными преобразованиями. Т.е. имеется такое преобразование f, с помощью которого по записи в языке g можно точно определить, какой будет запись в языке w (и наоборот) : g = f (w) и w = f'(g). Преобразование f объединяет указанные выше по разному выглядящие шкалы в определенную группу, которая называется "типом шкалы". Зафиксировав допустимое преобразование f, мы тем самым фиксируем конкретный тип шкалы.

В практике научных исследований получили распространение шкалы всего нескольких типов.

Приведем описание шкал основных типов.

1. Абсолютная шкала. Допустимое преобразование для шкал данного типа представляет собой тождество, т.е. если на одном языке в протоколе записано "у", а на другом языке "х", то между ними должно выполняться простое соотношение : у = х. Этот тип шкалы удобен для записи количества элементов в некотором конечном множестве. Если, пересчитав количество яблок, один запишет в протоколе "6", а другой запишет "VI", то нам достаточно знать, что "6" и "VI" означают одно и то же, т.е., что между этими записями существует тождественное отношение: 6 = VI.

2. Шкала отношений. Между разными протоколами, фиксирующими один и тот же эмпирический факт на разных языках, при этом типе шкалы должно выполняться соотношение: у = а*х, где а - любое положительное число. Один и тот же эмпирический смысл имеют протоколы "16 кг.", "16000 г.", "0, 016 т." и т.д. От любой записи можно перейти к любой другой, подобрав соответствующий множитель "a". Этот тип шкалы удобен для измерения весов, длин и т.д. Если нам не известно в каких именно единицах записаны веса тел в разных протоколах, то мы можем полагаться только на отношение весов двух тел: например, тело с весом 10 единиц в два раза тяжелее тела с весом 5 единиц вне зависимости от того, что было взято за единицу - тонна или грамм. Инвариантность отношений отражена в названии шкалы данного типа. Если же в протоколе указана единица веса, то такой протокол отражает свойства тел в абсолютной шкале.

3. Шкала интервалов. Здесь между протоколами y и x допустимы линейные преобразования: y = a*x + b, где а - любое положительное число, а b может быть как положительным, так и отрицательным. Это значит, что в разных протоколах может использоваться разный масштаб единиц (a) и разные начала отсчета (b). Примером шкал этого типа могут быть шкалы для измерения температуры. Если в протоколе указаны градусы, но не говорится в какой шкале (Цельсия, Кельвина и т.д.), то во избежание недоразумений при описании закономерностей можно использовать только отношения интервалов, так как при любых значениях a и b сохраняется равенство:

(y1-y2):(y3-y4) = ((a*x1+b)-(a*x2+b)) : ((a*x3+b)-(a*x4+b)).

Если записи в протоколе сопровождаются информацией о том, какие именно градусы имеются в виду (например, "18 град.С"), то мы имеем дело с протоколом в абсолютной шкале.

4. Шкала порядка. Допустимыми преобразованиями для данного типа шкалы являются все монотонные преобразования, т.е. такие, которые не нарушают порядок следования значений измеряемых величин. Такие протоколы появляются, например, в результате сравнения тел по твердости. Записи "1; 2; 3" и "5,3; 12,5; 109,2" содержат одинаковую информацию о том, что первое тело самое твердое, второе менее твердое, а третье - самое мягкое. И никакой информации о том, во сколько раз одно тверже другого, на сколько единиц оно тверже и т.д. в этих записях нет и полагаться на конкретные значения чисел, на их отношения или разности нельзя.

Разновидностью шкалы порядка является шкала рангов, где используются только числа, идущие подряд от 1 вверх по возрастанию. Если среди m измеряемых объектов одинаковых нет, то ранговое место каждого объекта в протоколе будет указано одним из целых чисел от 1 до m. При одинаковом значении измеряемого свойства у k объектов, занимающих порядковые места с t-го по (t+k)-тое, их ранги будут обозначены одинаковым числом, равным их "среднему" рангу x, где x = (1:k) S(i+t-1), i=1--k.

Такая разновидность шкалы порядка называется "нормированной шкалой рангов".

К типу шкал порядка относится и широко используемая шкала баллов. При этом используются целые числа в ограниченном диапозоне их значений: от 1 до 5 в системе образования, от 0 до 6 или до 10 в спорте и т.д. В любом из этих случаев протокол содержит информацию только о трех эмпирических отношениях: "<", ">" и "=".

5. Шкала наименований. Здесь фиксируется только два отношения: "равно" и "не равно". Следовательно, допустимы любые преобразования, лишь бы в протоколе одинаковые объекты были поименованы одинаковыми символами (числами, буквами, словами), а разные объекты имели бы разные имена. Так фиксируются в протоколах такие характеристики, как собственные имена людей, их национальность, названия населенных пунктов и т.п.

Шкалы первых трех типов содержат более богатую информацию, их показания можно подвергать определенным математическим преобразованиям и потому их часто называют "сильными", "количественными" или "арифметическими". Шкалы порядка и наименований уступают им по информативности и отражают качественные свойства и их обычно называют "слабыми" и "качественными " (2). Однако, рекомендовать пользоваться только "сильными" шкалами нельзя. Приборы для измерения сильных свойств более дорогие, для измерения многих свойств в сильных шкалах (особенно, в гуманитарных областях) таких приборов еще нет.