На плоскости проведено 2013 прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим

а) Возьмем прямую a и ближайшую к ней точку А пересечения двух других прямых b и c (если ближайших точек несколько, выберем любую из них). Треугольник, образованный прямыми a, b и c, не пересекает никакая другая прямая, иначе нашлась бы более близкая к прямой a точка пересечения прямых, чем точка А. Следовательно, к любой прямой примыкает как минимум один треугольник, а так как каждый из них при подсчете общего числа учитывается трижды, то таких треугольников не менее 2013/3=671.
б) Имеется не более двух таких прямых, что все точки пересечения остальных прямых лежат с одной стороны от каждой из них. Действительно, если таких прямых больше, выберем три из них. Они разобьют плоскость на 7 частей, и все точки пересечения остальных прямых должны лежать только в одной из этих частей, чего не может быть (четвертая прямая пересекает две области). Таким образом, у 2013-2=2011 прямых мы дополнительно к пункту а) насчитали еще по треугольнику (один порожден ближайшей к прямой точкой с одной, а другой – ближайшей к ней точкой с другой стороны), т.е. насчитали 2013+2011=4024 треугольников. Так как каждый из них по-прежнему подсчитывается трижды, общее количество треугольников не меньше N>4024/3 = 1341 1/3. Поскольку N число целое, получаем N>1342.