На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше 100 таких, угловая мера

Постоянный пользователь нашего ресурса написал нам почту в 11:33 с просьбой предоставить развернутый ответ на его вопрос. Наши эксперты отнесли этот вопрос к разделу Разное. Для ответа был привлечен один из опытных специалистов, который занимается написанием студенческих работ.

Цитируем вопрос ваш вопрос

На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше 100 таких, угловая мера

Разбор вопроса и ответ на него

Раздел 'ЕГЭ (школьный)', к которому был отнесён этот вопрос является не простой рубрикой. Для подготовки ответа на вопросы из этой рубрики специалист должен обладать широкими познаниями в различных научных областях. Однако в нашей компании таковые имеются.

Вы спрашивали:

На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше 100 таких, угловая мера

Конечно этот ответ может полностью не раскрыть тему вопроса, но мы постарались сделать его максимально полным. Предлагаем ознакомиться с мнением эксперта по этой теме:

По индукции докажем утверждение для 2n+1 точки и n2 дуг. База n=0 (1 точка и 0 дуг) – очевидна.
Шаг индукции. Пусть имеется 2n+3 точки. Рассмотрим "длинную" (более 120°) дугу AB с концами в этих точках (если таких нет, то "коротких" дуг более чем достаточно). Пусть С – произвольная из оставшихся точек. Тогда по крайней мере одна из дуг AС, BС не превосходит 120°. Итак, имеется не менее 2n+1 "коротких" дуг с концами в точках A и B. Плюс (согласно предположению индукции) n2 "коротких" дуг с концами в других (2n+1)-й точках. Итого, не менее n2+2n+1=(n+1)2 "коротких" дуг.

К нам на почту приходит много вопросов. Мы стараемся отвечать на все. Однако вы должны понимать, что большая загруженность увеличивает время ответа. Сейчас среднее время ответа равно 14:2.