Дана геометрическая прогрессия, первый член которой отличен от 0, а знаменатель – целое число, не равное 0 и -1. Доказать, что сумма двух

Ясно, почему из рассмотрения исключены геометрические прогрессии со знаменателем 0 и -1: у прогрессий первого типа любой член, начиная со второго, равен 0 (то же касается геометрических прогрессий с b₁=0), а потому равен сумме любого количества других таких членов; а у прогрессий второго типа сумма любого нечетного количества подряд идущих членов равна первому своему слагаемому.

Заметим, что если знаменатель прогрессии равен 1, то все члены ее равны первому члену b₁, поэтому сумма произвольных k членов при k≥2 равна k×b₁≠b₁, так что утверждение задачи справедливо.

Пусть теперь первый член прогрессии отличен от 0, а знаменатель q геометрической прогрессии отличен от 0, 1 и -1. Докажем искомое утверждение от противного. Пусть сумма некоторого количества m членов прогрессии (m не менее двух) равна какому-то ее члену: b_k+b_k+i,+…+b_k+j= b_l, т.е. b₁×q^k-1×(1+q^i-k+…q^j-k)=b₁×q^l, где i>k,…, j>k.

Сокращая на b₁, получаем уравнение в целых числах q^k-1×(1+q^i-k+…q^j-k)=q^l. Теперь при k-1>l, сокращая на q^l, получаем, что левая часть делится на q, а правая – нет. При k-1<l, сокращая на q ^k-1, получаем, что правая часть делится на q, а левая – нет. Если же k-1=l, сокращая на q^k-1, получаем равенство 1+q^i-k+…+q^j-k=1, или, считая для определенности, что i<…<j,  q^i-k×(1+…+q^j-i)=0 Û 1+…+q^j-i=0, где слева все слагаемые (количеством ≥1), кроме первого, делятся на q, и правая часть тоже, а первое слагаемое левой части – нет, что вступает в противоречие с признаками делимости. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно, и никакая сумма некоторого количества m≥2 членов прогрессии не равна какому-то одному ее члену