Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки ΔSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и φ = φi (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

Δrj = rj+1 - rj,

Δφi = φi+1 - φi

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки ΔSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjΔφi и Δrj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

ΔSi = rj Δφi Δrj (3)

Что касается ячеек ΔSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij ∃ Sij для простоты выберем вершину ячейки ΔSij с полярными координатами rj и φi. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos φi, rj sin φi) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

(4)

где d - максимальный диаметр ячеек ΔSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины φi и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Oφr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosφ, r sinφ)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Δφi и Δri. Следовательно

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = r dφ dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(φ), r1(φ) - однозначные непрерывные функции на отрезке (α,β). (рис 2).

Имеем

(8)

Где

F(r,φ) = rf(r cosφ, r sinφ)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам φ и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: φ=0,

φ=π/4, r cosφ=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами

Отсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что

имеем