Элементарные конформные отображения
ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: «Элементарные конфортные отображения»
Выполнила: студентка группы М-31
физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек 
и 
. Если задан закон 
, ставящий в соответствие каждому 
точку (или точки) 
, то говорят, что на множестве 
задана функция комплексной переменной со значениями в множестве 
. Обозначают это следующим образом: 
. (Часто говорят также, что 
отображает множество 
в множество 
.)
Задание функции 
эквивалентно заданию двух действительных функций 
и тогда 
, где 
, 
. Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. 
- линейная функция. Определена при всех 
. Отображает полную комплексную плоскость 
на полную комплексную плоскость 
. Функция 
и обратная ей 
- однозначны. Функция 
поворачивает плоскость 
на угол, равный 
, растягивает (сжимает) ее в 
раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину 
. Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. 
. Определена на всей комплексной плоскости, причем 
, 
. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки 
. Отображает полную комплексную плоскость 
на полную комплексную плоскость 
, причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. 
- показательная функция. По определению 
, т.е. 
, 
, 
. Из определения вытекают формулы Эйлера:
; 
; 
;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. 
периодична с периодом 
. Отображает каждую полосу, параллельную оси 
, шириной 
в плоскости 
в полную комплексную плоскость 
. Из свойств 
отметим простейшие: 
, 
4. 
- логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: 
. 
Выражение 
называется главным значением 
, так что 
. Определен для всех комплексных чисел, кроме 
. 
- бесконечно-значная функция, обратная к 
. 
, 
5. 
- общая показательная функция. По определению, 
. Определена для всех 
, ее главное значение 
, бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции 
;
;
;
По определению, 
; 
;
; 
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:
, 
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: 
, 
, 
, 
,
Решение. По определению, 
,
, 
; если 
, то очевидно, 
, 
,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Найти суммы:
1) 
2) 
Решение. Пусть: 
, а
. Умножим вторую строчку на 
, сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: 
; Преобразуя, получим:
, 
3. Доказать, что: 1) 
2)
3)
4)
Доказательство:
1) По определению, 
2) 
3) 
; 
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) 
; 2) 
; 3) 
;
Решение: 
и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
, 
, 
,
Напомним, что 
2) 
, 
,
3) 
, 
,
, 
.
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: 
; 
; 
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; 
; 
; 
;
; 
Вычислить: 1) 
; 3) 
; 5) 
;
; 4) 
; 6) 
;
Решение. По определению, 
, 
1)
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
, 
4)
, 
, 
,
5)
, 
, 
,
6)
, 
, 
, 
Найти все значения следующих степеней:
1) 
; 2) 
; 3)
; 4)
;
Решение. Выражение 
для любых комплексных 
и 
определяются формулой 
1) 
2)
3) 
4) 
.
8. Доказать следующие равенства:
1) 
;
2) 
;
3) 
Доказательство: 1) 
, если 
, или 
, откуда 
, или 
.
Решив это уравнение, получим 
, т.е. 
и 
, если 
, откуда 
, или 
, следовательно,
, 
3) 
, если 
, откуда 
, или
.
Отсюда 
, следовательно, 