Циклические группы

Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента g. Элемент g называется образующим циклической группы G

Циклические группы могут быть как конечными, так и бесконечными

Примеры :

Группа Z целых чисел с операцией сложения

Группа   всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g=   -образующий

Пусть ( G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество     - циклическая группа. g - образующий элемент. Подгруппа называется циклической, порожденной элементом g , а ее порядок - порядком элемента g . По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение:

  действующее по формуле : , является гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение   сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть   стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g

Так как , то всякая циклическая группа является коммутативной, и мы будем использовать аддитивную запись, так что n- ая степень g будет выглядеть как ng и называться n- кратным элемента g , а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0

Применяя теорему о гомоморфизме, получаем важное свойство циклических групп : всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z

Если F произвольная   группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n -кратные элементов из F . Если группа F коммутативна, то nF - подгруппа F поскольку   n(x-y)=nx-ny

Теорема о структуре циклических групп. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ

Доказательство. Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H , где H - некоторая подгруппа Z . По предыдущей теореме H=nZ , где . Если n=0 , G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0 , Z разбивается на n смежных классов : nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H имеет порядок n

Группу Z/nZ будем обозначать . В частности,

    - тривиальная группа

Элементами конечной группы   по определению являются смежные классы :

{nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1} , которые обозначаются   и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n

Теорема о подгруппах группы Z. Если H - подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n

Доказательство : Если H -тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна . В этом случае в H содержатся ненулевые числа и   противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n . Тогда . Если   - любое число, то разделив m на n с остатком, получим : m = kn+r , причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0 . Поэтому H =nZ , что и требовалось

Замечание. Если k 0 - любое целое, то отображение   определенное формулой   является изоморфизмом и отображает подгруппу   на подгруппу   , а значит определяет изоморфизм

Теорема о подгруппах группы (n>0) . Если H подгруппа группы , то H =   причем n делится на m нацело. Порядок H равен   = d , и значит

Доказательство. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K = - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что   H = . При этом   и потому n=dm где d -   целое.   По теореме о гомоморфизме  

Из этих теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична

Основная теорема теории делимости. Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y , что   xn+ym=1

Доказательство. Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0 . Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n ) не делится на s нацело. Значит n=ks+r , где 0< r

Следствие. Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y , что xn+ym=(n,m)

Для каждого целого d , делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d

Для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n 0 и m 0 , то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся   n и m . ( 0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых ( n,m)=1 называются взаимно простыми

Если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же ( n,m)>0, то числа   и     взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем : , откуда и следует сформулированный результат

Теорема о структуре групп простого порядка. Если порядок конечной группы G равен простому числу p , то  

Доказательство. Пусть   - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок x больше 1 и является делителем p , то он равен p и значит

Теорема о порядках элементов конечных циклических групп. Пусть p 0 любое целое. Вычет в группе   имеет порядок v=n/(n,p)

Доказательство. Пусть ( n,p)=d . Поскольку p/d - целое число, имеем : = = = , откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если порядок   равен k , то k = , то есть kp делится на n . По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если k

Следствие. В группе   образующими элементами являются в точности те вычеты , для которых ( n,p)=1

Образующими элементами в Z являются , очевидно, только 1 и -1

Рассмотрим множество   тех вычетов   по модулю n , для которых ( m,n)=1 . Относительно умножения по модулю n эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю n . Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет   является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие x и y , что xm+yn=1 . Переходя к вычетам, находим : = , откуда видно, что

Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы   имеют порядок 2 и потому она не является циклической

Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше

Условимся о следующих обозначениях. Если A и B два подмножества группы G, то A*B обозначает множество всевозможных произведений элементов первого из них на элементы второго, а   - множество всех обратных элементов из A. В этих обозначениях, например, условие, при котором A является подгруппой G можно записать в виде:

Определение

Пусть x некоторый фиксированный элемент   группы G, а H - любая ее подгруппа. Множество   x*H называется левым, а H*x - правым смежным классом группы по подгруппе

Например, очевидно, что *H=H* =H, так что подгруппа Н сама является одним из смежных классов

Свойства смежных классов

Отображение , определенное формулой   является взаимно однозначным для всякого

Каждый элемент x входит в смежный класс x*H

Если y входит в смежный класс x*H , то y*H=x*H

Если y не входит в смежный класс x*H, то

(Свойства 1- 4 сформулированы для левых смежных классов, но аналогичными свойствами обладают и правые)

Доказательство

    сюръективно по определению смежного класса. Если,   то есть ,   то по закону сокращения , то есть   инъективно

Поскольку     входит в подгруппу H, x=x*    входит в смежный класс x*H

Пусть y=x*h и , то есть z=   Тогда z=(x*h)*   = x*(h* ) и значит входит в класс x*H. Таким образом, . Обратное включение вытекает из того, что   и значит входит в y*H

Докажем от противного. Пусть классы x*H и y*H пересекаются и элемент z входит в каждый из них,   так что . Тогда   что противоречит нашему предположению

Следствие

Если подгруппа H конечна, то все левые смежные классы содержат одинаковое число элементов, равное порядку этой подгруппы. (Следует из свойства 1.)

В качестве примера рассмотрим группу перестановок из 3 элементов. Составим для нее таблицу умножения. Эта группа состоит из 6 элементов

Клетка таблицы, стоящая в i-ой строке и в j- ом столбце содержит номер элемента, равного . Она имеет следующий вид:

Рассмотрим подмножество H в состоящее из элементов   и . (Будем писать: H={1,2}). Легко видеть, что H - подгруппа. (Заметим, что ). Пользуясь таблицей умножения находим левые смежные классы:

  , , . Таким образом, имеем 3 различных левых смежных класса {1,2}, {3,4}, {5,6}. Аналогично строятся правые смежные классы: {1,2}, {3,5}, {4,6}

Возьмем теперь   {1,4,5}. - подгруппа четных перестановок .   Для нее левые и правые смежные классы совпадают и состоят из элементов {1,4,5} и {2,3,6}

Определение

Индексом (G:H) подгруппы H в группе G называется количество различных левых смежных классов G по H (если оно конечно)

Теорема Лагранжа

Если G конечная группа и H ее подгруппа, то

ord(G)={G:H)*ord(H)

(Здесь ord( ) обозначает порядок группы)

Доказательство

Пусть   - полный перечень левых смежных классов G по H и класс   содержит элементы   . Тогда m - индекс (G:H) , а n - порядок H (по следствию из предыдущей теоремы). По свойству 3. все элементы   попарно различны и по свойству 2. исчерпывают список   элементов группы G. Значит, m*n=ord(G), что и требовалось

Следствие

Порядок подгруппы делит порядок конечной группы

В самом деле, число ord(G)/ord(H)=(G:H) является целым

Замечания о таблицах умножения

Мы уже видели, что работая с конкретной конечной группой G, удобно иметь перед глазами ее таблицу умножения. Эта таблица называется таблицей Кэли. Ее можно построить для всякой АО на конечном множестве.   Для этого элементы множества надо занумеровать:   . В   i- ой   строке   таблицы записываются элементы: .   Заметим, что   в случае, если АО превращает множество в группу G , все эти элементы попарно различны, как это вытекает из закона сокращения. Поскольку их число равно порядку G, каждая строка таблицы Кэли является некоторой перестановкой элементов группы . Например, если для группы условиться, что , первая строка будет   тождественной перестановкой. Аналогично, перестановкой элементов группы будет и каждый столбец. В частности, таблица не имеет одинаковых строк или столбцов. Оказывается, что если элементу   множества сопоставить i - ую строку таблицы Кэли, то произведению   (произведение относительно АО !) , будет в случае, если АО ассоциативна,   отвечать перестановка, равная произведению соответствующих перестановок. В самом деле, по правилу перемножения перестановок имеем: Некоторые свойства АО наглядно проявляются в устройстве ее таблицы Кэли. Например, коммутативность умножения проявляется в симметричности таблицы относительно главной диагонали. Напротив, свойство ассоциативности не имеет столь наглядной интерпретации в устройстве ее таблицы умножения

Пусть G - произвольная группа и H - ее подгруппа. Рассмотрим множество{ } всех попарно различных левых смежных классов G по H

Определение

Подгруппа H называется нормальной в G (обозначение: ), если произведение любых двух левых смежных классов также представляет собой левый смежный класс

Итак, нормальность подгруппы H означает, что

Произведение (x*H)*(y*H) содержит, в частности, элемент (x*e)*(y*e)=x*y   и значит, если это произведение является смежным классом, это может быть только класс (x*y)*H. Поэтому определение нормальной подгруппы принимает следующий вид: H нормальна в G, если для любых x и y

  (x*H)*(y*H)=(x*y)*H

Теорема (признак нормальной подгруппы). H нормальна в G тогда и только тогда, когда   выполнено следующее условие: каждый правый смежный класс H*x совпадает с левым смежным классом x*H

Доказательство. Пусть H нормальна в G то есть выполнено (1). Возьмем   в этом равенстве x=e, тогда получаем, что H*y*H=y*H, откуда следует, что .Запишем это равенство для элемента : . Умножая это включение слева и справа на y получим : , то есть .   Таким образом, классы H*y   и   y*H   совпадают. Обратно, если H*y=y*H, то (x*H)*(y*H)=x*(H*y)*H=x*(y*H)*H= (x*y)*H*H = (x*y)*H, то есть (1) выполнено

Замечание 1. Равенство H*x=x*H можно записать в равносильной форме: . Проверим, что множество , стоящее в левой части этого равенства   является подгруппой в G для всякого . Используем признак подгруппы :    так как H является подгруппой и потому

Каждая из подгрупп   называется подгруппой сопряженной с H. Условие нормальности поэтому можно еще сформулировать так.   Подгруппа H группы G нормальна, если

Замечание 2. В коммутативной группе левые и правые смежные классы очевидно совпадают и потому в этом случае любая подгруппа будет нормальной. В некоммутативном случае могут встречаться и подгруппы, не являющиеся нормальными. Например, вернемся к группе   и ее подгруппе H. Как мы видели выше, левые {1,2}; {3,4); {5,6} и правые{1,2}; {3,5}; {4,6} классы по этой подгруппе не совпадают и значит H нормальной не является. Легко посчитать, что, например, {3,4}*{5,6}={1,2,5,6} так что это множество смежным классом не является. Напротив,   - нормальная подгруппа в    и ее классы

={1,4,5} и ={2,3,6 } перемножаются по правилу

Пусть   и   две группы и   некоторое отображение.   называется изоморфизмом, а группы   и   - изоморфными (однотипными), если

1.   - взаимно однозначно и

2.

Изоморфизм групп   и   обозначается символом

Если выполнено только условие 2. , то отображение   называется гомоморфизмом (подобием)

Например:

Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),   - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q

Тогда   - гомоморфизм

Пусть группы   и   заданы таблицами умножения:

и

Отображение   является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной)

Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где   . Определим отображение   формулой: (x)=x*H.   Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение   является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу

Пусть   - гомоморфизм. Тогда:

Если   -подгруппа, то   -подгруппа в

Если   - (нормальная) подгруппа, то   - (нормальная) подгруппа в

Доказательство

Применим признак подгруппы:  

. По признаку обратного элемента получаем:

Пусть - любой элемент. Тогда   и по признаку нейтрального элемента

Пусть   - подгруппа. - элементы из , то есть   и   входят в К. Тогда   и потому . Значит,   - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и   - любой элемент. Тогда   и значит . Аналогично, .   Поскольку , то и , то есть подгруппа   нормальна в

Замечание. Образ нормальной подгруппы не всегда   нормален

Для всякого гомоморфизма     подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма   и обозначается Im

  - подгруппа в , нормальная, так как тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма   и обозначается Ker

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы

Отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм    cюръективен тогда и только тогда, когда Im

Критерий инъективности гомоморфизма групп. Гомоморфизм групп   инъективен тогда и только тогда, когда Ker   ={ }

Доказательство. Так как ,   и значит, если   инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker   ={e}

Пусть ядро   состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда    и значит    и потому равно   . Отсюда получаем x=y и   инъективно

Следствие. Если Ker = {e}, то   изоморфно отображает   на подгруппу Im

Теорема Кэли. Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов

Доказательство. Пусть G={ }- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.   В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение   по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть   - гомоморфизм.   Если , то, в частности,   и значит . Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im   в

Теорема о гомоморфизме для групп. Пусть   сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа   изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то   превращается в естественный гомоморфизм

Доказательство. Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент   то есть некоторый смежный класс группы   по ее подгруппе H. Возьмем любой .   Тогда    не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если   любой другой элемент, то y=x*h, где   и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=   = Ф(x*H) Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если   любой элемент, то поскольку   сюръективно, найдется такой   , что . Но тогда Ф(x*H)= . Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,   и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку (x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение   совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H

Следствие. Всякий гомоморфизм    определяет изоморфизм между факторгруппой   и подгруппой Im

Примеры:

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n   в группу   не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит   эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R)

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker   - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1   сюръективно. По теореме о гомоморфизме   -нормальная подгруппа в   и

Пусть H - нормальная подгруппа группы G. Обозначим через G/H множество всех попарно различных смежных классов (безразлично,   левых или правых). Как нам известно, (x*H)*(y*H)=(x*y)*H, так что на множестве G/H определена АО. Эта операция, очевидно, ассоциативна. Поскольку H= , H*(x*H)=(x*H)*H=x*H и значит смежный класс H является нейтральным элементом для этой АО. Наконец,

  так что каждый смежный класс обратим. Поэтому G/H оказывается группой, называемой факторгруппой группы G по нормальной подгруппе H

Примеры

S(3)/A(3). Имеется 2 смежных класса   и   с таблицей умножения:

Пусть n=1, 2, ... , Целые числа кратные n образуют подгруппу nZ группы Z. Так как группа Z коммутативна, эта подгруппа нормальна. Каждый смежный класс p+nZ состоит из всех целых чисел, дающих при делении на n такой же остаток r что и число p. Обозначим этот смежный класс символом C(r) Поскольку   r=0, 1, ... (n-1), факторгруппа имеет порядок n. При этом C(r)+C(s)=C(r+s), причем имеется в виду, что если r+s>n-1, необходимо заменить r+s   на r+s-n (сложение по модулю n)

Каждый левый смежный класс A*SL(n,R) в группе GL(n,R) состоит из всех матриц, определитель которых равен d=det(A). Аналогичное описание верно и для правого класса SL(n,R)*A, который, таким образом, совпадает с левым и SL(n,R) GL(n,R). Обозначим этот смежный класс символом C(d). Здесь d - любое ненулевое вещественное число. Поскольку при перемножении матриц их определители также перемножаются, C(d)*C(b)=C(db). Этим полностью описана факторгруппа GL(n,R)/SL(n,R)