Функция
Функция
Функция и её свойства
Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1) Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2) Способы задания функции ·� · Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически. ·� На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов. Виды функций и их свойства 1)Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат 2)Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к№0. Число k называется коэффициентом пропорциональности. Cвойства функции y=kx: 1. Область определения функции- множество всех действительных чисел 2. y=kx - нечетная функция 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой 3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx. Свойства функции y=kx+b: 1. Область определения- множество всех действительных чисел 2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна. 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой Графиком функции является прямая. 4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности. Свойства функции y=k/x: 1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля 2. y=k/x- нечетная функция 3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+Ґ) и на промежутке (-Ґ;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-Ґ;0) и на промежутке (0;+Ґ). Графиком функции является гипербола. 5)Функция y=x2 Свойства функции y=x2: 1. Область определения- вся числовая прямая 2. y=x2 - четная функция 3. На промежутке (0;+Ґ) функция возрастает 4. На промежутке (-Ґ;0) функция убывает Графиком функции является парабола. 6)Функция y=x3 Свойства функции y=x3: 1. Область определения- вся числовая прямая 2. y=x3 -нечетная функция 3. Функция возрастает на всей числовой прямой Графиком функции является кубическая парабола 7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше. Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n. Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу. 8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4. Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х. Пусть n- четное число, например n=2. Свойства функции y=x-2: 1. Функция определена при всех x№0 2. y=x-2 - четная функция 3. Функция убывает на (0;+Ґ) и возрастает на (-Ґ;0). Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух. 9)Функция y=Цх Свойства функции y=Цх: 1. Область определения - луч (0;+Ґ). 2. Функция y=Цх - общего вида 3. Функция возрастает на луче (0;+Ґ). 10)Функция y=3Цх Свойства функции y=3Цх: 1. Область определения- вся числовая прямая 2. Функция y=3Цх нечетна. 3. Функция возрастает на всей числовой прямой. 11)Функция y=nЦх При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Цх. При нечетном n функция y=nЦх обладает теми же свойствами, что и функция y=3Цх. 12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь. Свойства функции y=xr: 1. Область определения- луч (0;+Ґ). 2. Функция общего вида 3. Функция возрастает на (0;+Ґ). На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке (0;+Ґ).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1. На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0 13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь. Свойства функции y=x-r: 1. Обл. определения -промежуток (0;+Ґ) 2. Функция общего вида 3. Функция убывает на (0;+Ґ) 14)Обратная функция Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима. Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x. 15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция. Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.