Вероятность случайного события

Любая наука, которая развивает общую теорию какого-нибудь круга явлений, содержит ряд базовых основных понятий. В геометрии – это понятия точ­ки, прямой, линии, в механике - понятия силы, массы ско­рости, ускорения. Естественно, что не все основные понятия могут быть полностью определены, ибо "определить" понятие - значит свести его к другим, более известным. Очевид­но, процесс определения одних понятий через другие должен где-то кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к ко­торым сводятся все остальные и которые сами не определяют­ся, а только поясняются. Такие понятия существуют и в тео­рии вероятностей. Рассмотрим некоторые из них

Под экспериментом (испытанием, опытом) мы будем пони­мать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в ко­торых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что "опыт" не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать неза­висимо от него; при этом человек выступает в роли наблюда­теля или фиксатора происходящего от него зависит только решение, что именно наблюдать и какие явления фиксировать

Если результат эксперимента варьируется при его повторении, говорят об опыте со случайным исходом. Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать и добавление "со случайным исходом" для краткости опускать. Тот факт, что при повто­рении опыта его основные условия сохраняются, и, значит, мы вправе ожидать устойчивости частот, тоже не будет каж­дый раз оговаривать

Случайным событием ( или, короче, просто событием ) на­зывается всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обозна­чать большими буквами латинского алфавита

Для примера рассмотрим несколько событий

1. Броса­ние монеты; событие A - появление герба

2. Броса­ние трех монет; событие B - появление трех гербов

3. Передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них

4. Выстрел по мишени; событие D - попадание

5. Вынимание наугад одной карты из коло­ды; событие Е - появление туза

6. Тот же опыт, что в при­мере 5; событие F - появление карты червонной масти

Во всех примерах события A,B,C обладают какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них бо­лее, а какое менее возможно. Например, событие A более воз­можно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем Е. Любое случайное событие обладает какой-то степенью воз­можности, которую в принципе можно измерить численно. Что­бы сравнивать события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем боль­ше, чем больше возможность события. Это число мы и назовем вероятностью события

Сравнивая между собой по степени возмож­ности различные события, мы склонны считать более вероят­ными те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, которые происходят реже; маловероятными - те, кото­рые вообще не происходят. Например, событие "выпадение дождя в Москве 1-го июня предстоящего года" более вероят­но, чем "выпадение снега в Москве в тот же день", а событие "землетрясения в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года" крайне мало вероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и ста­тистика говорит, что подобные события происходят раз в 100 лет). Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты

Характеризуя вероятности событий числами, нужно устано­вить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно долж­но произойти. Пример достоверного события - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости. Другой пример достоверного события: "камень, брошенный вверх ру­кой, вернется на Землю, а не станет её искусственным спут­ником"

Противоположностью достоверного события является невоз­можное событие - то, которое в данном опыте вообще не мо­жет произойти. Пример: " выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости "

Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному - равную нулю, то все другие собы­тия - возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляю­щими какую то долю единицы

Таким образом, установлены единица измерения вероятнос­ти - вероятность достоверного события и диапазон вероят­ностей - числа от нуля до единицы

Какое бы событие A мы бы ни взяли, его вероятность P(A) удовлетворяет условию: 0

Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события

Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю

В качестве примера рассмотрим следующий опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква за­писывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку "Евгения Онегина":

"Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать прак­тически невозможным

Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице

Введем новое важное понятие: противоположное событие. Противоположным событию А называется событие А, состоящее в непоявлении события А

Пример. Опыт: Один выстрел по мишени. Событие А - попа­дание в десятку. Противоположное событие А - непопадание в десятку

Вернемся к практически невозможным и практически досто­верным событиям. Если какое-то событие А пра к тически не­возможно, то противоположное ему событие А практически достоверно и наоборот

Практически невозможные (и сопутствующие им практичес­ки достоверные) события играют большую роль в теории веро­ятностей: на них основана вся её познавательная ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью достоверным; он может быть только практически достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью

В основе применения всех выводов и рекомендаций, добы­ваемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип прак­тической уверенности, который можно сформулировать следую­щим образом:

Если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не расс­читывать на его появление

В повседневной жизни мы постоянно (хотя и бессознатель­но) пользуемся этим принципом. Например, выезжая ку­да-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погиб­нуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность этого события все же имеется. Отправляясь ле­том на Кавказ или в Крым, мы не захватываем с собой зимней верхней одежды, хотя какая-то (очень малая) вероятность того, что нас настигнет мороз, всё-таки не равна нулю

Переходим к самому тонкому и трудному вопросу: насколь­ко мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным ?

Ответ на вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических сооб­ражений, в соответствии с той важностью, которую имеет же­лаемый для нас результат опыта. Чем опаснее для нас воз­можная ошибка предсказания, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его считать практически невоз­можным

Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объ­ективно одинаково возможными

Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании иг­ральной кости. Если кубик выполнен симметрично, "правиль­но" (центр тяжести не смещен ни к одной из граней), ес­тественно предположить, что любая из граней будет выпадать так же часто, как каждая из остальных. Так как достоверное событие "выпадает какая-то из граней" имеет вероятность, равную единице, и распадается на шесть одинаково равных вариантов (1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), то естественно при­писать каждому из них вероятность, равную 1/6

Для всякого опыта, обладающего симметрией возможных ис­ходов, можно применить аналогичный прием, который называ­ется непосредственным подсчетом вероятностей

Перед тем как дать способ непосредственного подсчёта вероятностей, введём некоторые вспомогательные понятия

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них

Примеры событий, образующих полную группу:

1) Появление "1", "2", "3", "4", "5", "6" очков при бросании игральной кости;

2) Два попадания, два промаха и одно попадание, один промах при двух выстрелах по мишени

Несколько событий в данном опыте называются несовмести­мыми, если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры несовместимых событий:

1) Два попадания и два промаха при двух выстрелах;

2) Выпадение герба и выпадение решки при бросании мо­неты;

3) Выпадение двух, выпадение трех и выпадение пяти оч­ков при   однократном   бросании игральной кости. Несколько событий называются равновозможными,   если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является более объективно возможным, чем другое

Заметим, что равновозможные события не могут проявлять­ся иначе, чем в опытах, обладающих симметрией возможных исходов; наше незнание о том, какое из них вероятнее, не есть основание для того, чтобы считать события равновоз­можными

Примеры равновозможных событий:

1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании сим­метричной, "правильной монеты";

2) Появление карты "червонной", "бубновой", "трефовой" или "пиковой" масти при вынимании карты   из   колоды

С опытами, обладающими симметрией исходов, связываются особые группы событий: они образуют полную группу, несов­местимы и равновозможны

События, образующие такую группу, называются случаями. Примеры случаев:

1) Появление герба и решки при бросании монеты;

2) Появление "1", "2", "3", "4", "5" и "6" очков при бросании игральной кости

Если опыт обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой набор его равновозможных и иск­лючающих друг друга исходов. Про такой случай говорят, что он сводится к схеме случаев. Для таких опытов возможен не­посредственный подсчет вероятностей, основанный на подсче­те доли так называемых благоприятных случаев в общем их числе

Случай называется благоприятным ( или "благоприятствую­щим") событию A, если появление этого случая влечет за со­бой появление данного события

В случае, если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность со­бытия A в данном опыте можно вычислить как долю благопри­ятных случаев в общем их числе:

P(A)= m / n , где m - число случаев,   благоприятных событию A; n – общее число случаев

Эта формула называется "классической формулой" для вычисления вероятностей. Предложенная еще в XVII веке, когда главным полем приложения теории вероятностей были азартные игры (в которых симметрия возможных исходов обеспечивается специальными мерами), она долгое время (вплоть до XIX века) фигурировала в литературе как "определение вероятности"; те задачи, в которых схема случаев отсутс­твует, искусственными приемами сводились к ней. В настоя­щее время формального определения вероятности не дается, т. к. это понятие считается первичным и не определяется

Сегодня для вычисления вероятностей применяется закон распределения Пуассона

Оно описывает:

а) показания счетчика, снимаемые через каждый интервал времени Т;

б) число зарегистрированных событий

Многие физические яв­ления приводят именно к такому распределению вероятностей Пуассона, поэтому оно играет большую роль в практичес­ком применении теории вероятностей