Матричный анализ

. Функции от матриц

1. Определение функции.

Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента

Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: , тогда

Определение f(A) в общем случае

Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение , , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2)

Тогда , т.е. (3), , ,

Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Ю (3) Ю (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A)

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при

Среди многочленов из С(x), принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x)

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1 ). Найдем минимальный многочлен H 1 – последний инвариантный множитель (xE-H 1 ):

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Ю 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1

, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Ю

1. Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x):

Доказательство:

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:

(*)

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на , получим:

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A)

ЧТД

Свойство № 2. Пусть матрица и – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны

ЧТД

Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, , т.е. , и f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда

Доказательство:

Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Ю одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), , Ю

ЧТД

Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица , то

Следствие: Если , то , где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1

Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены l k (x):

Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить

Построим:

Обратим внимание, что

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

Случай № 2

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае

Случай № 3

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

,

где m 1 +m 2 +…+m s =m, deg r(x)

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где – некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при

Если в (**) положить , получим:

Для того, чтобы найти a k3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент a ki определяется однозначно

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е

Пример: Найти f(A), если , где t – некоторый параметр,

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

Умножим (*) на (х-3)

при х=3

Ю

Умножим (*) на (х-5)

Таким образом, - интерполяционный многочлен

Пример 2

Если , то доказать, что

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

- характеристический многочлен

d 2 (x)=1, тогда минимальный многочлен

Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:

Ю функция является определенной на спектре

Умножим (*) на

Ю

Умножим (*) на :

Вычислим g , взяв производную (**):

. Полагая ,

, т.е.

Итак, ,

,

,

ЧТД

Пример 3

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x)

Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А Ю f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены

Используем метод неопределенных коэффициентов:

Если f(x)=ln x

f(1)=0 f’(1)=1

f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25

4. Простые матрицы

Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , k i – алгебраическая кратность корня

Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению - подпространство, , где r – ранг матрицы

Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица имеет , то имеет кратность

DF . Размерность называется геометрической кратностью собственного значения

В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:

Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности

DF . Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью

Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда

Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x 1 , x 2 , …,x n таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда и

Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если - собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что (*) или . Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x 1 , x 2 , …, x n и существует n линейно независимых собственных векторов y 1 , y 2 ,…,y n , где x 1 , x 2 , …, x n такие, что , (1); y 1 , y 2 ,…,y n такие, что (2),

Запишем равенство (1) в виде (3) Ю что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**)

DF . Множества векторов x 1 , x 2 , …, x n и y 1 , y 2 ,…,y n удовлетворяющие условию , т.е. называются квазиортогональными

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и

Очень важной для матриц является следующая теорема:

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C(x), и x 1 , x 2 , …, x n и y 1 , y 2 ,…,y n – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где

Следствие . Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

Пример. Показать, что матрица простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А 20 , p(x)=x 20

Решение:

Ю

существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов

Найдем правые собственные векторы:

Найдем левые собственные векторы:

Найдем сопутствующие матрицы:

5.Спектральное разложение функции f(A)

Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц

Пусть дана матрица и пусть ,

Теорема. Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , при чем коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве

Доказательство: заметим, что и , где - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами

ЧТД

Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц

Теорема . Компонентные матрицы обладают следующими свойствами:

Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций

Пример: Найти компоненты для матрицы

Пусть f(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме

1. f(x)=1

E=1Z 11 +0Z 12 +1Z 21 =Z 11 +Z 21

1. f(x)=x-4

A-4E=0Z 11 +1Z 12+ (-2 ) Z 21 =Z 12 -2Z 21

1. f(x)=(x-4) 2

(A-4E) 2 =4Z 21

Таким образом, для любой функции f(x), определенное на спектре матрицы А

Пример 2

Найти компоненты для матрицы

Найдем минимальный многочлен матрицы А

1. f(x)=1

E=Z 11 +Z 21 +Z 31

1. f(x)=x+1

(A+E)=2Z 21 +Z 31 +Z 12

1. f(x)=(x+1) 2

(A+E) 2 =4Z 21 +Z 31

1. f(x)=x-1

A-E=-2Z 11 +Z 12 -Z 31

1. f(x)=1 E=Z 11 +Z 21 +Z 31

2. f(x)=x+1 A+E=Z 11 Z 22 +2Z 31

3. f(x)=(x+1) 2 (A+E) 2 =Z 11 +4Z 31

4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z 11 -2Z 21 +Z 22

Z 31 =A

-Z 22 =(A+E) 2 -E-3A

Z 12 =Z 22

Z 11 =(E-A)-Z 22

6.Определенные матрицы

Эрмитовы и квадратичные матрицы

Пусть А – эрмитова матрица (А * =А)

Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента

Рассмотрим:

DF . Функция , где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x 1 , …, x n , где А – матрица эрмитовой формы

Очевидно, что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму

Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура . Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц

DF . Действительная симметрическая матрица А называется положительно определенной , если для

DF . Действительная симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной , если для

Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что она вырожденная, то , , что противоречит условию

Теорема № 1. Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга тогда и только тогда , когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) – собственные значения равны 0

Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны

Теорема № 3 . Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны

7.Неотрицательные матрицы

DF . Матрица называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен

Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц

Пусть матрицы . Будем говорить, что , если б в частности A>B, если

Вспомним матрицу перестановки , т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение приводит к перестановке столбцов матрицы А

DF . При матрица называется приводимой матрицей , если существует такая матрица перестановки Р, что совподает с матрицей , где А 11 , А 12 , А 22 – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем

, где ,

и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А 11 и А 22 в своей совокупности составляет множество значений матрицы А

Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице

В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц

DF . Пусть р 1 , р 2 , …, р n – n различных точек комплексной плоскости и . Для каждого нулевого элемента матрицы А составим направленную линию от р i к р j . Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы

Например:

DF . Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек существует направленный путь

Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным

8.Теорема Фробениуса-Перона

Очевидно, что если , то для . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p

Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то

Доказательство:

Если взять произвольный вектор и , то . И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим , тогда и разбив матрицу А на блоки следующим образом

мы будем иметь

Учитывая, что , то , тогда получаем, что , что противоречит неприводимости матрицы

Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y

ЧТД

Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax) i – i-я координата вектора Ах

. Из определения следует, что и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение , что

Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое

Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим . По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому т.е. для

Обозначим через наибольшее число, для которого , . – спектральный радиус матрицы А . Если Можно показать, что существует вектор y, что

Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz)

Интерес к числу r объясняется следующим результатом

Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r

Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц

Теорема Фробениуса-Перона . Если матрица неотрицательна и неприводима, то:

Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием

Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор

Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы