Математический анализ

ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ, БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО, ПРЕДЕЛА, НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ

ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал, содержащий эту точку

ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка

ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (а;+)

ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (- ;b)

ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и -

Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство іf(х) і<

>0 U U => іf(x) і< Число А называется пределом ф-ции f(х) в т. Хо, если в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно представить в виде f(х) =А+ (х) , где (х) -бесконечно малое в окрестности т. Хо

limf(x) =А Ф-ция f(х) называется непрерывной в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f(х) =f(х) + (х) , где (х) -б. м. в окр. т. Хо

Иными словами, f(х) -непрерывна в т. Хо, если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции

ТЕОРЕМА: Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения

Схема: 1. ф-я элементарна 2. определена 3. непрерывна 4. предел равен значению ф-ции 5. значение ф-ции равно 0 6. можно представить в виде б. м

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:

Теорема#1: Единственная константа, явл-ся б. м

Теорема#2: Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо, то их сумма тоже б. м. в этой окр

Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр. т. Хо, если сущ

проколотая окр. т. Хо и сущ. число М>0, такие что іf(х) і<М в каждой точке прок. окр. т. Хо

U M>0: іf(x) і Теорема#3: Если (х) -б. м. в окр. т. Хо, то она ограничена в этой окр

Теорема#4: О произведении б. м. на ограниченную: Если ф-ция (х) -б. м., а f(х) -ограниченная в окр. т. Хо, то (х) *f(х) -б. м. в окр. т. Хо

Теорема#5: О промежуточной б. м.: Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и (х) < (х) < (х) - 2 в окр. т. Хо U, то (х) -б. м. в окр. т. Хо

Две б. м. называются сравнимыми, если существует предел их отношения

Б. м. (х) и (х) в окр. т. Хо называются одного порядка, если предел их отношений есть число не равное 0

Две б. м. в окр. т. Хо называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1

Теорема#1: Если и -эквивалентные б. м., то их разность есть б. м. более высокого порядка, чем и чем

Теорема#2: Если разность двух б. м. есть б. м. более высокого порядка, чем и чем, то и есть эквивалентные б. м