Основы дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова

1. Цель работы

Основной целью лабораторной работы является изучение основ дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова. Новая (очередная) базисная система {sin(x)/x} используется здесь для обработки не только видео-, но и радиосигналов.

2. Подготовка к лабораторной работе

2.1. Теорема Котельникова

Теорема Котельникова (теорема отсчетов) имеют следующею формулировку: если наивысшая частота в спектре функции S(t) меньше, чем fm, то функция S(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на ½fm секунд.

В соответствии с этой теоремой сигнал S(t), ограниченный по спектру наивысшей частотой ωm=2πfm, можно представить рядом

. (1)

Этот ряд называется рядом Котельникова. В этом выражении ½fm = Δt обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а S(n/2fm) = S(nΔt) – выборки функции S(t) в моменты времени t=nΔt.

Исходя из (1), теорема Котельникова формулируется так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше fm , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки Δt = ½fm.

Рисунок 2.1. - Структурная схема синтезатора

В приведенном на рисунке 2.1 алгоритме, роль базисных функций φn(t) выполняют функции отсчетов:

2.2. Расчет спектра Котельникова

Спектром Котельникова называется последовательность выборок S(nΔt) на временной оси. Рассчитаем спектра Котельникова для заданного видеосигнала прямоугольной формы, с длительностью tu = 0,14 мс.

Интервал между двумя отсчетными точками на оси времени определяется соотношением Δt=½fm. В этом выражении граничную частоту спектра fm можно найти как fm=1/tu. Таким образом, получаем Δt:

Δt=½fm=0.075мс

Таким образом, мы получаем спектр Котельникова – дискретизованный сигнал, который включает в себя две составляющих. Континуальный и дискретизованный сигналы изображены на рисунке.2.2.

Рисунок 2.2. - Континуальный и дискретизованный сигналы.

3. Работа в компьютерной лаборатории и обработка результатов

3.1. Прямоугольные импульсы

Для прямоугольного сигнала устанавливаем длительность импульса tu=0,14мс, число отсчетов N=8 (на периоде) и частоту среза ФНЧ Fcp=4 кГц.

Рассмотрим амплитудно-частотную диаграмму (на рисунке 3.1). Спектр дискретизованного сигнала имеет периодический характер, подобно лепесткам в групповом спектре прямоугольного сигнала, только здесь амплитуда этих лепестков не убывает.

Спектр синтезированного сигнала содержит только один лепесток. Граничная частота в этом спектре определяется частотой среза ФНЧ фильтра, которая в данном случае равна 4 кГц. Спектральные составляющие, соответствующие этой и последующим частотам, не входят в ряд Котельникова и не участвуют в процессе синтеза сигнала, так как они отбрасываются фильтром. Следовательно, старшая составляющая дискретного линейчатого спектра соответствует частоте 3 кГц. Погрешность синтеза сигнала составляет 18,7%.

При изменении длительности дискретзирующих импульсов (то есть, когда они отличны от нуля), периодический спектр станет квазипериодическим, так как при этом включается множитель sin(x)/x.

Рисунок 3.1. - Исследование прямоугольного импульса

Далее, увеличим N и Fcp в 2 раза, то есть N =16 и Fcp =8 кГц. ФНЧ фильтр при этом начинает пропускать больше высокочастотных составляющих в ряд Котель-никова, поэтому колебания в восстанавливаемом сигнале становятся чаще. В частотном спектре восстанавливаемого сигнала появится еще один лепесток (толстые линии на спектре, рисунок 3.1), в который входят новые высокочастотные составляющие. Этот лепесток и совершает "вырез" сигнала в пике (см. рисунок 3.1). При этом абсолютная разность сигналов ΔS=|S(t)-SΣ(t)| уменьшается, что приводит к снижению погрешности. Погрешность синтеза в этом случае составляет 16,6%.

3.2. Импульсы треугольной формы

Рисунок 3.2. - Исследование треугольных импульсов

Выставляем в программе заданные параметры: tu=0,31 мс, N1=32, Fcp= N/2 = 16 кГц.

По аналогии с предыдущим пунктом, спектр дискретизованного сигнала имеет периодический характер. Увеличим число отсчетов N=40 и Fcp= N/2 = 20 кГц. Благодаря разнесению парциальных спектров увеличится граничная частота fm, лучше станет просматриваться форма спектра исходного треугольного импульса и улучшится качество синтеза. Результат исследования импульсов треугольной формы показан на рисунке 3.2. Иными словами, при увеличении числа отсчетов

N1 -> N2, сигнал лучше восстанавливается, уменьшается погрешность восстановления: и при

3.3. Пилообразные импульсы

Выставим максимально возможную длительность импульса tu= 1 мс. Наблюдения проводились при N=8, Fcp=4 кГц и при N=32, Fcp=16 кГц. Как и в предыдущих колебаниях, в пилообразном импульсе наблюдается периодический характер спектра (см. рис.3.3). Кроме того, в этом типе сигнала наблюдается выброс - дефект Гиббса. Аналогично гармоническому синтезу, этот выброс появляется в точках разрыва исходного сигнала. Непрерывные функции (в нашем случае sin(x)/x) не могут восстановить подобный сигнал с большой точностью.

Рисунок 3.3. - Исследование пилообразных импульсов

Найдем аналитическое выражение для спектра напряжения пилообразной формы. Исходный сигнал выглядит как S(t)=E(t/tu). Требуется найти S(nΔt), то есть для t=nΔt:

, где tu=NΔt, а n - номер отсчета.

На основе сравнений с экспериментальными и теоретическими значениями S(t), можно сделать вывод о справедливости этой формулы.

3.4. Синусоидальное колебание

Установим частоту среза Fcp=Fcp min =1 кГц и минимальное число отсчетов на период N=Nmin=2. При этом интервал между отсчетными точками находится из соотношения ½fm = Δt, где частоте fm соответствует частота среза Fcp ФНЧ фильтра. Отсюда получаем Δt=0,5 мс. Отсчеты приходятся на моменты времени t=0 и t=Т/2=0,5. В этих точках сигнал S(t)=sin(x) равен нулю, поэтому ни дискретизации, ни восстановления сигнала не произойдет. При изменении фазы от π/6 до π/2, мы получим сигнал S(t)=cos(x). В точках t=0 и t=0,5 мс эта функция равна 1 (отлична от нуля), поэтому происходит восстановление cos(x).

Рисунок 3.4. - Синусоидальное колебание

Далее, по заданию, мы выставляем нечетное и избыточное число отсчетов N=25. В спектре дискретизованного сигнала появляется "спектральный шум" дискретизации. Установив частоту Fcp=12 кГц=N/2, изменяем ее в пределах от 10 до 14 кГц, добиваясь тем самым захвата восстанавливающим фильтром группы из 4-5 шумовых составляющих малой величины. Характер спектра при этом полностью отражается формой восстанавливаемого сигнала. В его основе – синусоида, "обрамленная" высокочастотными флуктуациями – колебаниями малой амплитуды. Эти флуктуации вносятся спектральным шумом (высокочастотными составляющими спектра с незначительной амплитудой), и их влияние на увеличение погрешности минимально. Основной синусоиде соответствует низкочастотная гармоника, и при ее исключении из синтеза мы как раз получим наш шум – высокочастотные колебания с незначительной амплитудой.

Увеличив частоту среза до 36 кГц, мы включим в синтез не только низкочастотную гармонику, но и первую пару полезных высокочастотных составляющих дискретизованного сигнала (см. рис.3.4). Восстановленный сигнал представляет собой асимметричные биения , благодаря наличию НЧ- составляющей, которая модулирует ВЧ- составляющие.

3.5. Амплитудно-модулированное колебание

Рисунок 3.5 - Амплитудно-модулированное колебание

Число отсчетов равно N=25, частота дискретизации fд=1/Тд=N=25 кГц. Эта и кратные ей частоты будут являться центральными частотами парциальных спектров. Каждый из этих спектров содержит по паре боковых составляющих (см. рисунок.3.5). Зная их амплитуды, мы сможем определить коэффициент модуляции M. Амплитуда несущего колебания – центральной гармоники - A0 равна 1 В, амплитуда соседних – 0,2541 В и 0,2479 В. Коэффициент модуляции М определяется по формуле

Найдем это значение:

М1 = 2⋅0,2531= 0,6062,
М2= 2⋅ 0,2469 = 0,4938.

Таким образом, получили коэффициент модуляции М ≈ 0,5…0,6.

Использование в данном пункте полосового фильтра влияет на следующие моменты (по сравнению с предыдущим – синусоидальным колебанием):

полосовой фильтр исключает из спектра низкочастотную гармонику - она не входит в полосу пропускания фильтра при заданных параметрах - вследствие чего пропадают асимметричные биения;
в парциальном спектре появляется центральная составляющая, при чем той же (значительной) величины, что и исключенная гармоника. Эта составляющая соответствует центральной частоте полосового фильтра fp, которая является еще и несущим высокочастотным колебанием;
заметно снизились боковые составляющие в парциальном спектре, согласно коэффициенту модуляции М.

3.6. Радиоимпульсы

Устанавливаем параметры исследования сигналов: tu=0,14 мс, N=32, fp=32 кГц. Теперь уменьшаем полосу пропускания Fпп от 2N до 1 кГц. При этом отсекаются соседние гармоники и остаются средние, близкие к fp. В спектре выделяется частота f0, имеющая максимальную амплитуду. При дальнейшем сужении ППФ выключаются и "стабилизирующие" гармоники с малой амплитудой – остается просто несущее колебание и восстановление происходит не до конца. Их роль – коррекция сигнала на tu и обнуление сигнала за пределами tu, и их отсутствие только увеличивает погрешность. При условии захвата соседних составляющих (расширение полосы пропускания) восстановленный сигнал искажается (появляется биение).

Рисунок 3.6 – Радиоимпульс.

4. Общие выводы по лабораторной работе

Основные положения дискретизации и восстановления сигналов, нашедшие подтверждение в работе, а именно:

- при дискретизации сигнала, спектр его становится периодическим. При этом, если длительности дискретизирующих импульсов отличны от нуля, то спектр сигнала будет иметь квазипериодический характер, так как включается множитель sin(x)/x.

- при применении теоремы Котельникова важно правильно выбрать период дис-кретизации Tд. В частности, если Tд > Δt = ½fm, то происходит необратимая деформа-ция спектра – наложение спектральных составляющих друг на друга, при этом увеличивается погрешность синтеза. В случае, когда Tд < Δt = ½fm, расходуется много энергии, поэтому на практике такое соотношение Tд и Δt также не желательно. В реальных условиях, рекомендуемым соотношением является

- успешное реализация и использование в синтезе сигнала фильтра низких частот (ФНЧ) заключается в следующих его особенностях:

фильтр ФНЧ способен создавать функции вида sin(x)/x, так как он обладает импульсной характеристикой g(x)=sin(nx)/x;
фильтр ФНЧ позволяет перемножить sin(x)/x на отсчеты S(nΔt), благодаря свойству линейности этого четырехполюсника;
фильтр ФНЧ позволяет складывать эти произведения, благодаря инерционности этого четырехполюсника.

- использование теоремы Котельникова в модулированных колебаниях позволяет ускорить процесс дискретизации и восстановлении, так как она требует гораздо меньшее число отсчетов сигнала. Как следствие, упрощается аппаратная и программная реализация алгоритмов анализа и синтеза, основанных на этой теореме.